[译]最长回文子串(Longest Palindromic Substring) Part I
英文原文链接在（http://leetcode.com/2011/11/longest-palindromic-substring-part-i.html）
问题：给定字符串S，求S中的最长回文子串。
这个有趣的问题常常在面试中出现。为什么呢？因为解决办法有很多种。单单我知道的就有5种。你能解决这个问题吗？来Online Judge试试看吧！
提示
首先你要知道回文是什么。回文就是从左右两边读都一样的字符串。例如”aba”是回文，”abc”不是回文。
一个常见的错误
有人很快会想到这样一个方法。这个方法有缺陷，不过很容易修正。
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翻转S成为S’。查找S和S’最长公共子串，就是S的最长回文子串。 |
看起来有道理的样子。用实例检验下。
例如S=”caba”，S’=”abac”。
S和S’的最长公共子串是”aba”，确实是S的最长回文子串。
再看个例子。
S=”abacdfgdcaba”，S’=”abacdgfdcaba”。
S和S’的最长公共子串是”abacd”，不过很明显这不是回文。
暴力穷举法O(N3)
最简单的就是暴力穷举(Brute Force)对每个start和end位置的子串进行检测，判断其是否回文。显然有C(N,2)（组合）个子串。检测每个子串都需要O(N)的时间，所以此方法的时间复杂度为O(N3)。
动态规划法O(N2)时间O(N2)空间
我们可以用动态规划(Dynamic Programming即DP)法对暴力穷举法进行改进。记住，诀窍就是避免重复计算（即重复检测同一子串）。考虑这个例子”ababa”。如果我们已经检测过”bab”是回文，那么只需判断一下最左右的两个字符（即两个a）是否相同即可判定”ababa”是否回文了。
总结起来就是：
定义二维数组P[i,j]用以表示Si…Sj是回文（true）或不是回文（false）
那么可知P[i,j] = (P[i + 1, j - 1] && Si ==Sj)
初始条件是：P[i, i]=true，P[i, i + 1] = (Si == Si+1)
这个DP法的思路就是，首先可以知道单个字符和两个相邻字符是否回文，然后检测连续三个字符是否回文，然后四个。。。
此算法时间复杂度O(N2)，空间复杂度O(N2)。伪代码如下。
string longestPalindromeDP(string s) {
int n = s.length();
int longestBegin = ;
int maxLen = ;
bool table[][] = {false};
for (int i = ; i < n; i++) {
table[i][i] = true;
}
for (int i = ; i < n-; i++) {
if (s[i] == s[i+]) {
table[i][i+] = true;
longestBegin = i;
maxLen = ;
}
}
for (int len = ; len <= n; len++) {
for (int i = ; i < n-len+; i++) {
int j = i+len-;
if (s[i] == s[j] && table[i+][j-]) {
table[i][j] = true;
longestBegin = i;
maxLen = len;
}
}
}
return s.substr(longestBegin, maxLen);
}
提问：空间复杂度还能再改进吗？
更简单的算法O(N2)时间O(1)空间
下面介绍一个O(N2)时间O(1)空间的算法。
回文的特点，就是中心对称。对于有N个字符的字符串S，只有2N-1个中心。
为何是2N-1？因为两个字符之间的空档也可以是一个中心。例如”abba”的两个b中间就是一个中心。
围绕一个中心检测回文需要O(N)时间，所以总的时间复杂度是O(N2)。
string expandAroundCenter(string s, int c1, int c2) {
int l = c1, r = c2;
int n = s.length();
while (l >= && r <= n- && s[l] == s[r]) {
l--;
r++;
}
return s.substr(l+, r-l-);
}
string longestPalindromeSimple(string s) {
int n = s.length();
if (n == ) return "";
string longest = s.substr(, ); // a single char itself is a palindrome
for (int i = ; i < n-; i++) {
string p1 = expandAroundCenter(s, i, i);
if (p1.length() > longest.length())
longest = p1;
string p2 = expandAroundCenter(s, i, i+);
if (p2.length() > longest.length())
longest = p2;
}
return longest;
}
PS：“中心检测法”是我胡诌的名字。
提问O(N)
是否存在O(N)时间的算法？当然有！不过理解起来有点费劲，我们下回分解。