KMP模板及总结

KMP是一种字符串匹配算法,它在时间复杂度上较暴力匹配算法由很大的优势。比如我要找字符串S中是否存在子串P,如果暴力匹配的话,则时间复杂度为O(n*m),而kmp算法时间复杂度为O(n+m)

这里我们有一个辅助的数组next[](先别管怎么求出来的),next[i]含义是模式串P中[0....i-1]这一段的长度小于这段字符串的长度的最长公共前缀(比如ababa,公共前缀就是aba)。

好,那我们接下来讲一下kmp算法的具体操作:

假设,我们开始有字符串S:ababaaba   模式串P:abaa

对应next[i](0=<i<=len(P))的值为:

next[0]=-1 (无)

next[1]=0  (a)

next[2]=0  (ab)

next[3]=1  (aba)

next[4]=1  (abaa)

好,有了next数组,我们接下来进行匹配,设i=0是S上的当前匹配位置,j=0是P上的当前匹配位置。

第一次匹配,一直到i=3,j=3时匹配失败,令j=nxet[j]继续匹配。(为什么可以令j=next[j]?简单来说P[0...0]等于P[2...2],而通过第一次匹配,我们知道P[2..2]等于S[2...2],所以可以跳过这一段不用重复匹配,具体原理接下来解释)

第二次匹配,从i=3,j=1开始,匹配成功,获得答案。

大概过程就是这样。

下面按我自己的理解,解释一下kmp的原理:

如下图所示(图很丑,我真的不知道怎么画图),S[0...i]和P[0...i]匹配上了,匹配到i+1时匹配失败。

KMP模板及总结

好,我们仔细分析一下,设L=nxet[i+1],则P[0...L]等于P[i-L...i],又因为通过刚才的匹配,我们确定了S[0...i]等于P[0...i],所以在S上也有一段对应的S[L-i...i]=P[L-i..i]=P[0...L]。

所以第二次匹配时,我们可以直接将P挪动,使P[0...L]对应S[L-i...i],直接从i+1开始匹配(即上文中的j=next[j]),如下图所示:

KMP模板及总结

P[0...L]=S[L-i..i]可以理解,但是为什么可以直接挪过来呢,忽略了可能出现的情况怎么办?比如说下图这样的情况:

KMP模板及总结

是否会有一段这样的字符串S[k..k+m]被我们忽略呢?若有的话,那显然k的位置更优因为i-k>L更有利于我们减少重复匹配。

实际上是不存在的,很容易知道,若存在一段长度大于L的S[k...i]=P[0...i-k+1]那么因为P[0...i]=S[0...i]肯定会有一段P[k..i]=S[k..i]=P[0..i-k+1],即P[0...i-k+1]和P[k..i]是一段公共前缀。

但是前面我们说了L=next[i+1]表示P[0...i]的最长公共前后缀,而上述的情况存在则说明有比L更长的公共前缀,这就矛盾了,所以S[k...k+m]这样的字符串是不存在的。

好了,这下kmp的原理我们知道了,接下来说next数组是如何构造的:

其实求next数组相当于模式串P自己跟自己做kmp,然后将最大的匹配结果记录在对应位置,所以实际上求next数组的代码跟kmp是几乎一样的。

模板代码:

 #include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int M=1e6+; int nxt[M];
char s[M],p[M]; //获得next数组
void getnext(char *p,int len){
int i,j;
i=,j=nxt[]=-;
while(i<len){
while(j!=-&&p[i]!=p[j]) j=nxt[j];
nxt[++i]=++j;
}
}
//返回p在s中第一次出现的位置
void kmp(char *s,char *p){
int len1,len2,i,j;
i=j=;
len1=strlen(s);
len2=strlen(p);
getnext(p,len2);
while(i<len1){
while(j!=-&&s[i]!=p[j]) j=nxt[j];
i++,j++;
if(j==len2)
return i-len2+;
}
return -;
}

KMP常见题型:

一、字符串匹配,求出模式串P在S中是否存在,输出第一次出现的位置

HDU 1711

二、求模式串P在S中的出现次数(注意分可重和不可重的情况)

HDU 1686

三、求所有公共前后缀(既是前缀又是后缀)

POJ 2752

四、求字符串循环节

HDU 3746(找最小循环节)

FZU 1901(求所有循环节)

五、求所有S的前缀在S中出现次数之和

HDU 3336

六、最大最小表示

HDU 3374

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