Andrew Ng机器学习公开课笔记–Principal Components Analysis (PCA)

网易公开课,第14, 15课
notes,10

之前谈到的factor analysis,用EM算法找到潜在的因子变量,以达到降维的目的

这里介绍的是另外一种降维的方法,Principal Components Analysis (PCA), 比Factor Analysis更为直接,计算也简单些

参考,A Tutorial on Principal Component Analysis, Jonathon Shlens

 

主成分分析基于,

在现实中,对于高维的数据,其中有很多维都是扰动噪音,或有些维是冗余的,对描述数据特征没有作用

比如我们在描述汽车速度的时候,用不同的单位mph or kph作为两维,其实只需要其中一维即可

那么如果对于一个高维数据,比如3维空间,大部分数据都集中于一个二维平面,那么我们用这个二维平面的两个主向量来替代3维向量,就达到降维的目的

并且这样的也尽可能的保留了原始变量的信息不丢失

推而广之,对于n维空间,数据点集中于一个k维的超平面,那么我们就可以说这个超平面的k个主向量为主成分

看NG说的直升机自动驾驶的例子,描述直升机驾驶员的水平
x1,表示驾驶技能;x2,表示驾驶的爱好和兴趣,这两个维度其实是极度相关的,如下图
可以看到其实所有点都是集中在u1这个axis附近的,所以我们可以用u1作为主成分来替代原先的x1和x2

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其实可以看出,u1和u2是对x1和x2进行旋转的结果,旋转后发现其实数据集中在u1维度,u2方向表示noise
对于n维空间,旋转后,发现用其中的k维就可以很好的描述数据,那么这k维就是主成分,并且坐标轴都是正交的,即特征间是独立的
所以旋转后,选取得到的主成分也都是独立的

用特征值和特征向量再解释一下,
对于一个n维矩阵,当前的n个特征即坐标轴,并不一定可以很好的反映数据,比如上面的例子看起来数据和两个坐标轴都是有很大相关性的
所以我们通过旋转或线性变换,来找到可以更好的反映数据的新的坐标轴,比如上面的u1,u2
这些向量,称为特征向量,而特征值表示该特征向量的重要性,即数据是否集中于该维上
这时你会发现,少部分的特征向量的特征值占了特征值总和的绝大部分,而大部分的特征向量的特征值都很小
比如上面的例子u1的特征值很大,而u2的特征值就很小
所以你可以选择top k特征值的特征向量,来近似原来的n个特征向量,从而达到降维,且尽量的不丢失数据信息

知道主成分分析的原理,下面的问题就是如何找到主成分?

首先做预处理,zero mean and unit variance

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1和2,使x的均值为0
3. 算均方差
4. normalization 偏差,因为每维上的scale是不一样的,比如一维是体重80,一维是身高1.8,所以需要规范化

好,如何找到u?

One way to pose this problem is as finding the unit vector u so that when the data is projected onto the direction corresponding to u, the variance of the projected data is maximized.

即找到一个单位向量,让数据投影到u上的点的方差最大,即最分散

为什么?
首先我们的目的是找到那个子超平面,使得数据点尽量集中在这个超平面上,即点到这个超平面的距离尽可能的小
如下图,比较直观,如左图,当点到u向量距离最小时,方差是最大的
当选取右图的方向时,方差是最小的

再者,方差大,点比较分散,才便于去区分

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形式化的表达出来,
部分参考,主成分分析(Principal components analysis)-最大方差解释

To formalize this, note that given a unit vector u and a point x, the length of the projection of x onto u is given by Andrew Ng机器学习公开课笔记–Principal Components Analysis (PCA)

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所以所有点的方差和为,

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其中,中间那块是x的协方差矩阵,
设,
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上面的式子表示为,

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两边同时乘上u

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Andrew Ng机器学习公开课笔记–Principal Components Analysis (PCA) ,这个是特征向量和特征值的公式
我们上面的目标是最大化Andrew Ng机器学习公开课笔记–Principal Components Analysis (PCA)的情况下求u,到这里转变为求x的协方差矩阵Andrew Ng机器学习公开课笔记–Principal Components Analysis (PCA),特征值Andrew Ng机器学习公开课笔记–Principal Components Analysis (PCA)最大的特征向量u

简单解释一下特征向量和特征值

http://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%89%B9%E5%BE%B5%E5%90%91%E9%87%8F

矩阵可以看作是线性变换,所以上面公式可以看成,对向量u进行线性变换Andrew Ng机器学习公开课笔记–Principal Components Analysis (PCA),得到的向量仍然在同一方向上,只是发生伸缩(即数乘变换)
这样就称u为线性变换或矩阵Andrew Ng机器学习公开课笔记–Principal Components Analysis (PCA)的特征向量,而Andrew Ng机器学习公开课笔记–Principal Components Analysis (PCA)为对应于该特征向量的特征值

可以看到对于PCA的求解其实很简单, 只需要下面几步,
1. normalized zero mean and unit variance
2. 算出协方差矩阵
3. Find top k 特征向量

PCA的应用非常广泛,

压缩数据
可视化,高维数据无法可视化,降到2维或3维便于可视化
降低over-fitting, 用高维数据进行supervised learning,模型复杂度比较高,容易过拟合,通过PCA降维达到防止过拟合的作用
去噪音,比如对于脸部识别,100×100的pixel,就是10000特征,通过PCA降维可以找到主成分特征
异常检测,通过PCA可以找到由k个主成分组成的超平面,如果新的数据离该超平面很远,就说明可能是异常数据

 

奇异值分解(Singular Value Decomposition)

对于PCA有个问题,是如果x的维度很高,那么算出协方差矩阵Andrew Ng机器学习公开课笔记–Principal Components Analysis (PCA),就是相当耗费空间和困难的事

比如对于谈到的脸部识别10000维的x,10000×10000的协方差矩阵
比如文本分析,可能维度更高
对于文本分析,之所以要使用PCA,因为对于naive bayse而言,所有特征都是独立的
即如果有两篇文章x1,x2
x1中含有learn
而x2中含有study
对于bayse分类而言,这两篇文章是完全不相关的
但是其实learn和study一定是相关的,所以用PCA可以达到降维,并且可以更准确的描述相关性
称为LSI(latent semantic indexing),参考机器学习中的数学(5)-强大的矩阵奇异值分解(SVD)及其应用

这种高维的PCA问题,就需要用SVD去求解

SVD用于把一个大矩阵分解成若干个小矩阵,便于存储和分析,具体参考上面blog里面的reference

A矩阵,SVD分解成,UDV-transpose

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其中U的列,是A×A-transpose的特征向量eigenvector
而V的列,是A-transpose×A的特征向量

为什么?不知道,有空复习线性代数

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对于x的协方差矩阵Andrew Ng机器学习公开课笔记–Principal Components Analysis (PCA),可以表示为X-transpose*X,为什么?直接算下就知道

我们的目的就是算出Andrew Ng机器学习公开课笔记–Principal Components Analysis (PCA)的特征向量,即X-transpose*X的特征向量

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根据前面SVD的定义,我们知道X矩阵的SVD分解,中V的列就是X-transpose*X的特征向量
所以对于X进行SVD分解,就解决了PAC问题
X矩阵是比较小的,比如文本50000特征向量,100个文本,那么X就是100×50000d的svd分解,比对协方差矩阵50000×50000做特征值向量解要简单的多

 

另外在上面的blog中引用数学之美中LSI的例子
比如对m个文本进行聚类,每个文本n个特征,n一般都很大比如50000
那么传统做法,就是余弦法,每个文本之间通过余弦法来计算相似度,这个计算量很大
而用SVD分解,就可以很简单
对于A,表示m个,n个特征的文本矩阵

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进行svd分解,

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这边解释一下,svd分解,应该是分解成mn = mm × mn × nn
但是这样分解出来的子矩阵仍然很大,所以近似成,

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其实和特征向量一样,只是选取奇异值top r的那些向量,进行了压缩

而对于文本聚类而言,r=100,就代表类,也就是LSI中所谓的latent semantic
相当于现在你不用比较每个单词特征来判断文本是否相似,而是比较类特征是否相似,这个不但有效降维,而且解决原来上面提到的learn,study这样的同义词的问题

“三个矩阵有非常清楚的物理含义。第一个矩阵X中的每一行表示这类词中每个词的相关性。最后一个矩阵Y中的每一列表示这类文章中每篇文章的相关性。中间的矩阵则表示词类和文章类之间的相关性。因此,我们只要对关联矩阵A进行一次奇异值分解,我们就可以同时完成了近义词分类和文章的分类”

之前不解,为何做SVD分解,后得到的矩阵可以表示相关性
其实根据前面的定义,知道A-transpose×A等于

Andrew Ng机器学习公开课笔记–Principal Components Analysis (PCA) 即行,文本之间的协方差矩阵

而V是A-transpose×A的特征向量矩阵,即文本之间协方差矩阵的特征向量矩阵,这就不难理解了

同样A×A-transpose表示,列,即单词特性的协方差矩阵。。。同理U。。。

 

NG总结无监督学习

首先分为两类,

求子空间,subspace

因子分析,是density estimation算法,会计算出P(x)
主成分分析,单纯的直接求解子空间,不是一个概率算法

所以如果单纯为了降维和求解子空间,使用PCA
如果需要使用概率P(x)就使用因子分析

求聚类,clumps或group

混合高斯,是density estimation算法
K-means,单纯聚类算法,不是一个概率算法

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