经搜索它是Kaiming大神团队在他们的论文《Focal Loss for Dense Object Detection》提出来的损失函数，利用它改善了图像物体检测的效果。不过我很少做图像任务，不怎么关心图像方面的应用。本质上讲，focal loss就是一个解决分类问题中类别不平衡、分类难度差异的一个loss，总之这个工作一片好评就是了。大家还可以看知乎的讨论：
《如何评价kaiming的Focal Loss for Dense Object Detection？》

看到这个loss，开始感觉很神奇，感觉大有用途。因为在NLP中，也存在大量的类别不平衡的任务。最经典的就是序列标注任务中类别是严重不平衡的，比如在命名实体识别中，显然一句话里边实体是比非实体要少得多，这就是一个类别严重不平衡的情况。我尝试把它用在我的基于序列标注的问答模型中，也有微小提升。嗯，这的确是一个好loss。

接着我再仔细对比了一下，我发现这个loss跟我昨晚构思的一个loss具有异曲同工之理！这就促使我写这篇博文了。我将从我自己的思考角度出发，来分析这个问题，最后得到focal loss，也给出我昨晚得到的类似的loss。

硬截断 ↺

整篇文章都是从二分类问题出发，同样的思想可以用于多分类问题。二分类问题的标准loss是交叉熵

Lce=−ylogy^−(1−y)log(1−y^)={−log(y^),当y=1−log(1−y^),当y=0Lce=−ylog⁡y^−(1−y)log⁡(1−y^)={−log⁡(y^),当y=1−log⁡(1−y^),当y=0
其中 y∈{0,1}y∈{0,1} 是真实标签， y^y^ 是预测值。当然，对于二分类我们几乎都是用sigmoid函数激活 y^=σ(x)y^=σ(x) ，所以相当于
Lce=−ylogσ(x)−(1−y)logσ(−x)={−logσ(x),当y=1−logσ(−x),当y=0Lce=−ylog⁡σ(x)−(1−y)log⁡σ(−x)={−log⁡σ(x),当y=1−log⁡σ(−x),当y=0
（我们有 1−σ(x)=σ(−x)1−σ(x)=σ(−x) 。）

我在上半年的博文《文本情感分类（四）：更好的损失函数》中，曾经针对“集中精力关注难分样本”这个想法提出了一个“硬截断”的loss，形式为

L⋅=λ(y,y^)⋅LceL⋅=λ(y,y^)⋅Lce
其中
λ(y,y^)={0,(y=1且y^>0.5)或(y=0且y^<0.5)1,其他情形λ(y,y^)={0,(y=1且y^>0.5)或(y=0且y^<0.5)1,其他情形
这样的做法就是： 正样本的预测值大于0.5的，或者负样本的预测值小于0.5的，我都不更新了，把注意力集中在预测不准的那些样本，当然这个阈值可以调整。这样做能部分地达到目的，但是所需要的迭代次数会大大增加。

原因是这样的：以正样本为例，我只告诉模型正样本的预测值大于0.5就不更新了，却没有告诉它要“保持”大于0.5，所以下一阶段，它的预测值就很有可能变回小于0.5了，当然，如果是这样的话，下一回合它又被更新了，这样反复迭代，理论上也能达到目的，但是迭代次数会大大增加。所以，要想改进的话，重点就是“不只是要告诉模型正样本的预测值大于0.5就不更新了，而是要告诉模型当其大于0.5后就只需要保持就好了”。（好比老师看到一个学生及格了就不管了，这显然是不行的。如果学生已经及格，那么应该要想办法要他保持目前这个状态甚至变得更好，而不是不管。）

软化loss ↺

硬截断会出现不足，关键地方在于因子λ(y,y^)λ(y,y^)是不可导的，或者说我们认为它导数为0，因此这一项不会对梯度有任何帮助，从而我们不能从它这里得到合理的反馈（也就是模型不知道“保持”意味着什么）。

解决这个问题的一个方法就是“软化”这个loss，“软化”就是把一些本来不可导的函数用一些可导函数来近似，数学角度应该叫“光滑化”。这样处理之后本来不可导的东西就可导了，类似的算例还有《梯度下降和EM算法：系出同源，一脉相承》中的kmeans部分。我们首先改写一下L∗L∗。

L⋅={−θ(0.5−y^)log(y^),当y=1−θ(y^−0.5)log(1−y^),当y=0L⋅={−θ(0.5−y^)log⁡(y^),当y=1−θ(y^−0.5)log⁡(1−y^),当y=0
这里的 θθ 就是单位阶跃函数
θ(x)=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪1,x>012,x=00,x<0θ(x)={1,x>012,x=00,x<0
这样的 L∗L∗ 跟原来的是完全等价的，它也等价于（因为 σ(0)=0.5σ(0)=0.5 ）
L⋅={−θ(−x)logσ(x),当y=1−θ(x)logσ(−x),当y=0L⋅={−θ(−x)log⁡σ(x),当y=1−θ(x)log⁡σ(−x),当y=0
这时候思路就很明显了，要想“软化”这个loss，就得“软化” θ(x)θ(x) ，而软化它就再容易不过，它就是sigmoid函数！我们有
θ(x)=limK→+∞σ(Kx)θ(x)=limK→+∞σ(Kx)
所以很显然，我们将 θ(x)θ(x) 替换为 σ(Kx)σ(Kx) 即可：
L⋅⋅={−σ(−Kx)logσ(x),当y=1−σ(Kx)logσ(−x),当y=0L⋅⋅={−σ(−Kx)log⁡σ(x),当y=1−σ(Kx)log⁡σ(−x),当y=0
这就是我昨晚思考得到的loss了，显然实现上也是很容易的。

现在跟focal loss做个比较。

Focal Loss ↺

Kaiming大神的focal loss形式是

Lfl={−(1−y^)γlogy^,当y=1−y^γlog(1−y^),当y=0Lfl={−(1−y^)γlog⁡y^,当y=1−y^γlog⁡(1−y^),当y=0
如果落实到 y^=σ(x)y^=σ(x) 这个预测，那么就有
Lfl={−σγ(−x)logσ(x),当y=1−σγ(x)logσ(−x),当y=0Lfl={−σγ(−x)log⁡σ(x),当y=1−σγ(x)log⁡σ(−x),当y=0
特别地， 如果KK和γγ都取1，那么L∗∗=LflL∗∗=Lfl！

事实上KK和γγ的作用都是一样的，都是调节权重曲线的陡度，只是调节的方式不一样～注意L∗∗L∗∗或LflLfl实际上都已经包含了对不均衡样本的解决方法，或者说，类别不均衡本质上就是分类难度差异的体现。比如负样本远比正样本多的话，模型肯定会倾向于数目多的负类（可以想象全部样本都判为负类），这时候，负类的y^γy^γ或σ(Kx)σ(Kx)都很小，而正类的(1−y^)γ(1−y^)γ或σ(−Kx)σ(−Kx)就很大，这时候模型就会开始集中精力关注正样本。

当然，Kaiming大神还发现对LflLfl做个权重调整，结果会有微小提升

Lfl={−α(1−y^)γlogy^,当y=1−(1−α)y^γlog(1−y^),当y=0Lfl={−α(1−y^)γlog⁡y^,当y=1−(1−α)y^γlog⁡(1−y^),当y=0
通过一系列调参，得到 α=0.25,γ=2α=0.25,γ=2 （在他的模型上）的效果最好。注意在他的任务中，正样本是属于少数样本，也就是说，本来正样本难以“匹敌”负样本，但经过 (1−y^)γ(1−y^)γ 和 y^γy^γ 的“操控”后，也许形势还逆转了，还要对正样本降权。不过我认为这样调整只是经验结果，理论上很难有一个指导方案来决定 αα 的值，如果没有大算力调参，倒不如直接让 α=0.5α=0.5 （均等）。

多分类 ↺

focal loss在多分类中的形式也很容易得到，其实就是

Lfl=−(1−y^t)γlogy^tLfl=−(1−y^t)γlog⁡y^t
y^ty^t 是目标的预测值，一般就是经过softmax后的结果。那我自己构思的 L∗∗L∗∗ 怎么推广到多分类？也很简单：
L⋅⋅=−softmax(−Kxt)logsoftmax(xt)L⋅⋅=−softmax(−Kxt)log⁡softmax(xt)
这里 xtxt 也是目标的预测值，但它是softmax前的结果。

结语 ↺

什么？你得到了跟Kaiming大神一样想法的东西？不不不，本文只是对Kaiming大神的focal loss的一个介绍而已，更准确地说，是应对分类不平衡、分类难度差异的一些方案的介绍，并尽可能给出自己的看法而已。当然，本文这样的写法难免有附庸风雅、东施效颦之嫌，请读者海涵。

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