\(AC\) 自动机中的 \(Fail\) 树
引入：
思考一下 \(AC\) 自动机的匹配过程：
从第一个字符开始，每到达一个节点 \(x\) ，就从 \(x\) 开始不断跳 \(fail\) 到根。
期间跳到的节点代表的串都在文本串中出现。
进阶：
既然可以从文本串的每位开始向上跳 \(fail\) 找模式串结尾节点。
那么我们也可以从结尾节点逆着 \(fail\) 找文本串节点。
从结尾节点开始逆着跳 \(fail\) ，期间跳到的文本串节点个数就是这个模式串在文本串中出现的次数。
因此，建立好 \(fail\) 指针后，只留下反向的 \(fail\) 指针作为边，就得到了 \(fail\) 树。
大概长这样：
这棵树是在一个 \(trie\) 的基础上产生的，所以这棵树上的每个点都是一个字符串的前缀，而且每个字符串的每个前缀在这棵树上都对应着一个点。
其次，由于 \(fail\) 指针，每个点父节点的字符串都是这个点字符串的后缀，并且树上没有更长的它的后缀。
沿着 \(x\) 的 \(fail\) 祖先往上走会找到 \(x\) 节点的所有后缀节点
对于字符串 \(s\) ，在自动机里匹配到的所有节点的所有 \(fail\) 祖先就表示 \(s\) 的所有子串。
利用：
只要将 \(fail\) 树上每个属于文本串的结点权值置为 \(1\) ，那么节点 \(x\) 的子树总权值就是 \(x\) 代表的串在文本串中出现的次数。
求子树权值之和，一种实现方法就是 \(DFS\) 序+树状数组
权值算法就是：
void solve(char *s){
int x=0;len=strlen(s);
for(int i=0;i<len;i++){
int now=s[i]-'a';
while(!ch[x][now]&&x) x=fail[x];
x=ch[x][now];
add(dfn[now],1);//插入树状数组
}
}
int main(){
....
query(dfn[val[x]]+size[val[x]]-1)-query(dfn[val[x]]-1);
//val为该字符串在节点中的位置 ,正常的进行树状数组查询即可。
}
例题：
[NOI2011] 阿狸的打字机
一开始用所有串构造好 \(fail\) 树并求出 \(DFS\) 序。
对于一个 \((x,y)\) 这样的询问，只要在 \(fail\) 树上将所有属于串 \(y\) 的结点权值赋为 \(1\) ，查询串 \(x\) 末尾结点子树权值和即可。
我们可以把所有 \(y\) 串相同的询问放在一起处理，用链式结构(就像建图一样连起来)。
然后重新走一次 \(Trie\) 树的构造过程:
- 每走到一个结点就将这个节点权值 \(+1\)
- 遇到 \(B\) 就令当前节点权值-1并返回上一个节点
- 每次遇到 \(P\) 时就可以查看是否有串 \(y\) 为当前字符串的询问，有就一起处理
这样做就保证了遇到 \(P\) 时只有当前字符串全部赋了值，并且遍历完只用 \(O(n)\)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define lowbit(x) x&-x
const int N=2e6+5,M=1e5+5;
int c[N][26],val[N],fail[N],cnt;
int nxt[N],ver[N],head[N],tot;
int fa[N],dfn[N],dep[N],sizes[N],son[N],top[N],rk[N],dfstime;
int n,Q,a[N],treesum[N]; char str[N];
void add(int x,int y){
ver[++tot]=y; nxt[tot]=head[x]; head[x]=tot;
}
void ins(char *s,int id){
int len=strlen(s);int now=0;
for(int i=0;i<len;i++){
int x=s[i]-'a';
if(!c[now][x]) c[now][x]=++cnt;
now=c[now][x];//指向地址
}
val[id]=now;//单词末尾
}
void build(){
queue<int> q;
for(int i=0;i<26;i++)//第一层是根节点0
if(c[0][i])//遍历第二层，搜索存在的子树
fail[c[0][i]]=0,q.push(c[0][i]);//fail指向根节点
while(!q.empty()){
int x=q.front();q.pop();
for(int i=0;i<26;i++){//搜索这一棵树
if(c[x][i]){
fail[c[x][i]]=c[fail[x]][i];//让这个节点的失败指针指向(((他父亲节点)的失败指针所指向的那个节点)的下一个节点)
q.push(c[x][i]);//存在子树，就压入队列
}
else
c[x][i]=c[fail[x]][i];//否则就让这个子节点指向当前节点fail指针的子节点
}
}
}
void dfs1(int x,int father){
sizes[x]=1;
fa[x]=father;
dep[x]=dep[father]+1;
for(int i=head[x];i;i=nxt[i]){
int y=ver[i]; if(y==father) continue;
// fa[y]=x;
dfs1(y,x);
sizes[x]+=sizes[y];
if(!son[x]||sizes[y]>sizes[son[x]]) son[x]=y;
}
}
void dfs2(int x,int topfather){
dfn[x]=++dfstime;//dfs序
top[x]=topfather;//这个点所在重链的顶端,对于求lca和链有极大帮助
if(!son[x]) return;
dfs2(son[x],topfather);//我们首先进入重儿子来保证一条重链上各个节点dfs序连续
for(int i=head[x];i;i=nxt[i]){
int y=ver[i];
if(y!=son[x]&&y!=fa[x]) dfs2(y,y);//位于轻链底端，top为本身
}
}
int lca(int x,int y){
while(top[x]!=top[y]){
if(dep[top[x]]<dep[top[y]]) swap(x,y);
x=fa[top[x]];
}
if(dep[x]>dep[y]) swap(x,y);
return x;
}
void update(int x,int val){
for(;x<=dfstime;x+=lowbit(x)) treesum[x]+=val;
}
int query(int x){
int res=0;
for(;x;x-=lowbit(x)) res+=treesum[x]; return res;
}
bool cmp(int x,int y){return dfn[x]<dfn[y];}
inline void solve1(){
int x=0,tp=0;
for(int i=0;str[i];i++){
x=c[x][str[i]-'a']; a[++tp]=x;//在 trie 树中统计走过的节点
}
sort(a+1,a+1+tp,cmp);
bool flag=false;
for(int i=1;i<=tp;i++){
update(dfn[a[i]],1);//相邻两个节点在树上的位置 +1 ,表示多一个串匹配
if(flag) update(dfn[lca(a[i],a[i-1])],-1);
else flag=true;
}
}
int main(){
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%s",str),ins(str,i);
build();
for(int i=1;i<=cnt;i++) add(fail[i],i);
dfs1(0,cnt+1); dfs2(0,0);
cin>>Q;
while(Q--){ int opt;
scanf("%d",&opt);
if(opt==1) scanf("%s",str),solve1();
else if(opt==2){
int x; scanf("%d",&x);
printf("%d\n",query(dfn[val[x]]+sizes[val[x]]-1)-query(dfn[val[x]]-1));
}
}
system("pause");
return 0;
}