我似乎很少写这种算法博客

• 可持久化线段树概念
• 概念介绍（类比帮助理解）
• 简单分析一下时间和空间复杂度（内容池）
• 模板
• 申请空间
• 建树模板
• 单点修改模板
• 单点查询模板
• 区间修改模板（pushup）
• 区间修改模板（比较特别）
• 区间查询模板
• 入门题：可持久化线段树
• 题目
• 简单题解
• 代码实现

可持久化线段树概念

概念介绍（类比帮助理解）

一句话概括：每次修改线段树上的值都新建一棵树，保证原来的线段树未被覆盖

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给几张图片帮助认识

对于可持久化线段树的操作，保证每一次的线段树都不要被覆盖
可能会想到每一次都copy一棵完整的新树，然后再新树上进行更改
空间会变成$(nm)$(nm)，显然是不允许的

其实我们发现每一次都最多只修改$log(n)$log(n)个节点（走到了叶子节点）
其余的节点没经过的都跟原来的线段树状态是一样的，
那么我们就没有必要去新建一些多余的节点储存同样的内容
所以可持久化线段树的修改每一次都只新建需要更改的新点，不动的就直接赋成原来的状态
这样就保证了每一个状态下的线段树都被保存下来了，且未对其发生更改

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我们可以类比抄作业，
A同学做完了一份作业（树的最初是状态）
B同学就开始抄A，发现这其中有几处错误，
那么他就在这几个题目上面赶紧写下自己的正确答案（新建线段树），
然后其它一样的地方就直接链接A同学的答案（先不急着把答案写下来，只用链接地址不变，在后面要用到的时候就直接找到A的答案地址抄就可以了）

假设这个时候C又开始抄B的，又发现B有一些错误，
他就悄悄更改这几处的答案（新建点），
与B一样的就链接地址（虽然链接的是B的地址，但是B链接的是A的地址，所以就相当于C直接链接了A的地址）
以此类推。。。

可持久化就意味着老师检查作业（查询之时）能找到每一位同学各自的答案，并且每位同学都很不要脸，发现了别人的错误都不告诉别人，自己偷偷摸摸的改，生成了自己新的一份答案

不然你想如果A发现自己有个错误，改了的话，所有的同学都要更改那一道题，所以要按住A不然他更改自己的答案，保证后面的答案顺利传下去

我jio得这个类比非常贴近生活实际，浅显易懂啊！！相信很多亲故都已经明白了吧！！

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简单分析一下时间和空间复杂度（内容池）

因为是新建的点，并未对以前的先单数进行深度增加或多几个叶子结点
查询和更改都应该是与线段树一样的时间复杂度$O(logN)$O(logN)
m次操作就是$O(MlogN)$O(MlogN)是肯定可以接受的

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唯一蜜汁迷人的就是这个空间问题，
这里简单引入一个新概念内容池（可以这么想↓）

以前是每次要用空间就跟系统申请
内容池就是提前一次性跟系统申请好
之后再进行申请就是跟自己申请

就是用结构体来提前申请好一定空间，这个好处就是可以尽情地多申请一些
反正后面不用丢了也无所谓

建初始树的空间与普通线段树是不一样的，
因为普通线段树是$num<<1$num<<1，$num<<1|1$num<<1∣1，叶子结点也会生成多的空儿子
所以空间会变成$4N$4N，而主席树就不一样了，用了内存池再加上写法的原因
叶子结点是不会多生成空儿子的,空间自然就是$2N$2N
有m次操作，就有$MlogN$MlogN个新点，就会多这么多空间
线段树总空间也就是$(2N+MlogN)$(2N+MlogN)

不建议大家卡着点开，可以尽可能的多开一些，保证不MLE就ok

模板

学习任何算法都有一定的模板，刚开始多半都是靠背，打多了过后就自然而然就理解了
没办法
接下来的多数模板我们以找最大值为例，对于不同的情况适当更改部分代码即可

申请空间

#define MAXN 1000005
struct node {
	int l, r, Max;
//依情况而决定里面的变量是Max,Min,Sum...
}tree[MAXN << 2];

建树模板

我都是写的动态建树，挺不错的，推荐
这里要注意必须把每一层的节点编号提前存下来，
不然回溯的时候cnt早已多加了很多，这样我们就对不上了

int build ( int l, int r ) {
	int t = ++ cnt;
	if ( l == r ) {
		tree[t].l = tree[t].r = 0;
		tree[t].Max = a[l];
		return t;
	}
	int mid = ( l + r ) >> 1;
	tree[t].l = build ( l, mid );
	tree[t].r = build ( mid + 1, r );
	tree[t].Max = max ( tree[tree[t].l].Max, tree[tree[t].r].Max );
	return t;
}

单点修改模板

把p这个点修改为v

int update ( int num, int p, int v, int l, int r ) {
	int t = ++ cnt;
	if ( l == r ) {
		tree[t].l = tree[t].r = 0;
		tree[t].Max = v;
		return t;
	}
	int mid = ( l + r ) >> 1;
	if ( p <= mid ) {
		tree[t].l = update ( tree[num].l, p, v, l ,mid );
		tree[t].r = tree[num].r;
	}
	else {
		tree[t].r = update ( tree[num].r, p, v, mid + 1, r );
		tree[t].l = tree[num].l;
	}
	tree[t].Max = max ( tree[tree[t].l].Max, tree[tree[t].r].Max );
	return t;
}

单点查询模板

假设我们要找p的值

int query ( int p, int num, int l, int r ) {
	if ( l == r )
		return tree[num].Max;
	int mid = ( l + r ) >> 1;
	if ( p <= mid )
		return query ( p, tree[num].l, l, mid );
	else
		return query ( p, tree[num].r, mid + 1, r );
}

区间修改模板（pushup）

首先面对线段树的区间修改，大多数人都会采取lazy，主席树也同样适用
但不同的是各棵树是彼此独立的，如果我们lazy下放，对于i这个状态是对的
但有可能到j状态时的树是不能加上这个lazy的，这个lazy并不是j打上去的
所以不下放，我们就回溯上放回来即可

void pushup ( int root,int len ) {
    tree[root].sum = tree[tree[root].l].sum + tree[tree[root].r].sum + tree[tree[root].l].lazy * ( len - ( len >> 1 ) ) + tree[tree[root].r].lazy * ( len >> 1 );
}

int update ( int root, int l, int r, int L, int , int val ) {
    int t = ++ cnt;
    tree[t].lazy = tree[root].lazy;
    tree[t].l = tree[root].l;
    tree[t].r = tree[root].r;
    tree[t].sum = tree[root].sum;
    if ( L <= l && r <= R ) {
		tree[t].lazy = tree[root].lazy + val;
        return t;
    }
    int mid = ( l + r ) >> 1;
    if ( L <= mid )
    	tree[t].l = update ( tree[root].l, l, mid, L, R, val );
    if ( mid < R )
		tree[t].r = update ( tree[root].r, mid + 1, r, L, R, val );
    pushup ( t, r - l + 1 );
    return t;
}

区间修改模板（比较特别）

就用求区间和为例吧！！
对于有些奇怪的题，区间是不能pushup和pushdown的，那么就要另辟蹊径代替lazy上下放

我们采取另一种手段来实现修改查询操作，就是每次在区间直接对区间答案进行修改，
然后如果被划分到刚刚好的区间的时候打上lazy即可。
保证了如果区间有lazy那么这整个区间一定是被完全覆盖的

对于一次的修改L,R,lazy的标记只存在与L,R之间划分到的整个区间,
并且所有不是整区间的区间答案在找区间经过的途中都整体增加了该有的值，包括整区间，
然后每次查询答案其答案的初始化都是当前区间的lazy值乘上其区间大小，
因为如果当前区间有lazy那么一定是整体覆盖的，并且查询和修改
要把目标区间进行划分，这样我每次查询和修改都能维护出合理的答案

int update( int & suf, int pre, int l, int r, int L, int R, int val ){
    suf = ++ cnt;
    tree[suf].sum = tree[pre].sum;
    tree[suf].l = tree[pre].l;
    tree[suf].r = tree[pre].r;
    tree[suf].lazy = tree[pre].lazy;
    tree[suf].sum += 1ll * ( R - L + 1 ) * val;
    if( L <= l && r <= R ) {
        tree[suf].lazy += val;
        return suf;
    }
    int mid = ( l + r ) >> 1;
    if( R <= mid ) //全部都在左儿子区间 
		tree[suf].l = update ( tree[suf].l, tree[pre].l, l, mid, L, R, val );
    else if( mid < L ) //全部都在右儿子区间 
		tree[suf].r = update ( tree[suf].r, tree[pre].r, mid + 1, r, L, R, val );
    else { //左右皆有 
       tree[suf].l = update ( tree[suf].l, tree[pre].l, l, mid, L, R, val );
       tree[suf].r = update ( tree[suf].r, tree[pre].r, mid + 1, r, L, R, val );
    }
    return suf;
}

区间查询模板

其实亲故们都知道区间查询也可以完成单点的，无非就是多传一个不用的变量罢了
这里假设的是找$[L,R]$[L,R]之间的最大值

int query ( int L, int R, int num, int l, int r ) {
	if ( L <= l && r <= R )
		return tree[num].Max;
	int mid = ( l + r ) >> 1;
	int ans1 = - INF, ans2 = - INF;
	if ( L <= mid )
		ans1 = query ( L, R, tree[num].l, l, mid );
	if ( mid < R )
		ans2 = query ( L, R, tree[num].r, mid + 1, r );
	return max ( ans1, ans2 );
}

说了这么多，也该是期末学习成果的展示了！！！
只有做题才能更好的掌握运用主席树模板！

入门题：可持久化线段树

题目

题目描述
为什么说本题是福利呢？因为这是一道非常直白的可持久化线段树的练习题，目的并不是虐人，而是指导你入门可持久化数据结构。

线段树有个非常经典的应用是处理RMQ问题，即区间最大/最小值询问问题。现在我们把这个问题可持久化一下:

Q k l r 查询数列在第k个版本时，区间[l, r]上的最大值
M k p v 把数列在第k个版本时的第p个数修改为v，并产生一个新的数列版本

最开始会给你一个数列，作为第1个版本。每次M操作会导致产生一个新的版本。
修改操作可能会很多呢，如果每次都记录一个新的数列，空间和时间上都是令人无法承受的。
所以我们需要可持久化数据结构
对于最开始的版本1，我们直接建立一颗线段树，维护区间最大值。

修改操作呢？我们发现，修改只会涉及从线段树树根到目标点上一条树链上logn个节点而已，其余的节点并不会受到影响。所以对于每次修改操作，我们可以只重建修改涉及的节点即可。
需要查询第k个版本的最大值，那就从第k个版本的树根开始，像查询普通的线段树一样查询即可。
要计算好所需空间哦

输入格式
第一行两个整数N, Q。N是数列的长度，Q表示询问数
第二行N个整数，是这个数列
之后Q行，每行以0或者1开头，0表示查询操作Q，1表示修改操作M，
格式为
0 k l r 查询数列在第k个版本时，区间[l, r]上的最大值 或者
1 k p v 把数列在第k个版本时的第p个数修改为v，并产生一个新的数列版本

输出格式
对于每个M询问，输出正确答案

样例
input
4 5
1 2 3 4
0 1 1 4
1 1 3 5
0 2 1 3
0 2 4 4
0 1 2 4
output
4
5
4
4
解释
序列版本1: 1 2 3 4
查询版本1的[1, 4]最大值为4
修改产生版本2: 1 2 5 4
查询版本2的[1, 3]最大值为5
查询版本1的[4, 4]最大值为4
查询版本1的[2, 4]最大值为4

数据范围与提示
N <= 10000
Q <= 100000
对于每次询问操作的版本号k保证合法，区间[l, r]一定满足1 <= l <= r <= N

简单题解

说过了这道题是一个入门版题，照着模板打就可以了
对于每一个更改线段树的操作，我们找到操作途中所经过的点，重新建点，
不覆盖原来的线段树模样，对于不变的我们就直接把原来树上的地址直接甩过去就可以了
记录下第i个操作的根节点，每一个线段树都是不相互影响冲突的，只是有可能会共用一些点罢了。

代码实现

#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
#define MAXN 1000005
#define INF 0x7f7f7f7f
struct node {
	int l, r, Max;
}tree[MAXN << 2];
int cnt, tot, n, q;
int a[MAXN / 10], root[MAXN << 2];
int build ( int l, int r ) {
	int t = ++ cnt;
	if ( l == r ) {
		tree[t].l = tree[t].r = 0;
		tree[t].Max = a[l];
		return t;
	}
	int mid = ( l + r ) >> 1;
	tree[t].l = build ( l, mid );
	tree[t].r = build ( mid + 1, r );
	tree[t].Max = max ( tree[tree[t].l].Max, tree[tree[t].r].Max );
	return t;
}
int update ( int num, int p, int v, int l, int r ) {
	int t = ++ cnt;
	if ( l == r ) {
		tree[t].l = tree[t].r = 0;
		tree[t].Max = v;
		return t;
	}
	int mid = ( l + r ) >> 1;
	if ( p <= mid ) {
		tree[t].l = update ( tree[num].l, p, v, l ,mid );
		tree[t].r = tree[num].r;
	}
	else {
		tree[t].r = update ( tree[num].r, p, v, mid + 1, r );
		tree[t].l = tree[num].l;
	}
	tree[t].Max = max ( tree[tree[t].l].Max, tree[tree[t].r].Max );
	return t;
}
int query ( int L, int R, int num, int l, int r ) {
	if ( L <= l && r <= R )
		return tree[num].Max;
	int mid = ( l + r ) >> 1;
	int ans1 = - INF, ans2 = - INF;
	if ( L <= mid )
		ans1 = query ( L, R, tree[num].l, l, mid );
	if ( mid < R )
		ans2 = query ( L, R, tree[num].r, mid + 1, r );
	return max ( ans1, ans2 );
}
int main() {
	scanf ( "%d %d", &n, &q );
	for ( int i = 1;i <= n;i ++ )
		scanf ( "%d", &a[i] );
	root[++ tot] = build ( 1, n );
	for ( int i = 1;i <= q;i ++ ) {
		int opt, k, p, v;
		scanf ( "%d %d %d %d", &opt, &k, &p, &v );
		if ( opt == 0 )
			printf ( "%d\n", query ( p, v, root[k], 1, n ) );
		else
			root[++ tot] = update ( root[k], p, v, 1, n );
	}
	return 0;
}

相信这篇博客会帮助大家更好地理解可持久化线段树，如果有错误的地方欢迎大家指出改正，谢谢，联系方式：139红酒白酒葡萄酒+评论
ヾ(ToT)Bye_Bye