LeetCode 96 不同的二叉搜索树 题解

给定一个整数 n，求以 1 ... n 为节点组成的二叉搜索树有多少种？
示例:
输入: 3
输出: 5
解释:
给定 n = 3, 一共有 5 种不同结构的二叉搜索树:

   1         3     3      2      1
    \       /     /      / \      \
     3     2     1      1   3      2
    /     /       \                 \
   2     1         2                 3

动态规划

假设 n 个节点存在二叉排序树的个数是 G (n)，令 f(i) 为以 i 为根的二叉搜索树的个数，则

G(n) = f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(n)

当 i 为根节点时，其左子树节点个数为 i-1 个，右子树节点为 n-i，则【注意是相乘，左半边组合数和右半边组合数相乘】，G[i]其实表示的是连续的i个数可以构成的二叉搜索树个数

f(i) = G(i-1)*G(n-i)

综合两个公式可以得到 卡特兰数 公式

G(n) = G(0)*G(n-1)+G(1)*(n-2)+...+G(n-1)*G(0)

用 2、3 构建，和用 1、2 构建，出来的种类数是一样的，因为参与构建的个数一样。
再比如 2，3，4 和 1，2，3 都是连着的三个数，构建出的 BST的种类数相同，属于重复的子问题。
定义 dp[i] ：用连着的 i 个数，所构建出的 BST种类数；

base case：dp[0] = dp[1] = 1;

1、动态规划

 public int numTrees(int n) {
        //动态规划
        int[] G = new int[n+1];
        G[0] = 1;
        G[1] = 1;
        for(int i = 2; i < n+1; i++){
            for(int j = 1; j <= i; j++){
                G[i] += G[j-1]*G[i-j];//f(j) = G[j-1]*G[i-j]
            }
        }
        return G[n];
    }

2.递归

public int numTrees(int n) {
        //递归 超时
        if(n <= 1) return 1;
        int num = 0;
        for(int i = 1; i <= n; i++){
            num += numTrees(i-1)*numTrees(n-i);
        }
        return num;
        //记忆化递归
        int[] mem = new int[n+1];
        return num(mem,n);
    }
    public int num(int[] mem, int n){
        if(n <= 1){
            return 1;
        }
        if(mem[n] != 0){
            return mem[n];
        }
        int res = 0;
        for(int i = 1; i <= n; i++){
            res += num(mem, i-1)*num(mem,n-i);
        }
        mem[n] = res;
        return res;
    }