[TJOI 2017]可乐

2022-11-20 07:32:47

Description

加里敦星球的人们特别喜欢喝可乐。因而，他们的敌对星球研发出了一个可乐机器人，并且放在了加里敦星球的1号城市上。这个可乐机器人有三种行为：停在原地，去下一个相邻的城市，自爆。它每一秒都会随机触发一种行为。现在给加里敦星球城市图，在第0秒时可乐机器人在1号城市，问经过了t秒，可乐机器人的行为方案数是多少？

Input

第一行输入两个正整数况N,M，N表示城市个数，M表示道路个数。（1 <= N <=30,0 < M < 100)

接下来M行输入u,v，表示u，v之间有一条道路。（1<=u,v <= n)保证两座城市之间只有一条路相连。

最后输入入时间t

Output

输出可乐机器人的行为方案数，答案可能很大，请输出对2017取模后的结果。

Sample Input

Sample Output

HINT

【样例解释】

1 ->爆炸

1 -> 1 ->爆炸

1 -> 2 ->爆炸

1 -> 1 -> 1

1 -> 1 -> 2

1 -> 2 -> 1

1 -> 2 -> 2

1 -> 2 -> 3

【数据范围】对于20%的pn，有1 < t ≤ 1000

对于100%的pn，有1 < t ≤ 10^6。

题解

考虑朴素的$DP$：

$f[i][j][0]$表示第$i$时刻，在城市$j$爆炸的方案数，$f[i][j][1]$表示第i时刻，在城市$j$不爆炸的方案数

$f[i][j][0]=f[i-1][j][0]+f[i-1][j][1]$,$f[i][j][1]=f[i][j][1]+f[i][k][1]$($k$是$j$的相邻结点)

这样是要$MLE$的，显然状态的答案只与前一状态相关，直接滚动即可

可是依旧$T$了。

我们发现是城市数量很少，用邻接矩阵存。有矩阵的话就可以矩阵加速了。

我们定义矩阵$S$为$1*(n+1)$答案矩阵，$S[0][0]$表示$t$秒前（包括$t$秒）爆炸的方案总数；$S[0][i]$，$1<=i<=n$表示$t$秒时在点$i$的方案总数，初始$S[0][1]=1$；

矩阵$T$为$(n+1)*(n+1)$的邻接矩阵，除此之外：注意$T[i][0]=1$，$0<=i<=n$为了统计“爆炸”的情况；$T[i][i]=1$表示停在$i$点不动。

显然我们需要$S*=T^t$，最后答案就是$\sum _{i=0} ^n S[0][i]$。

 //It is made by Awson on 2017.10.3

 #include <set>

 #include <map>

 #include <cmath>

 #include <ctime>

 #include <queue>

 #include <stack>

 #include <vector>

 #include <cstdio>

 #include <string>

 #include <cstring>

 #include <cstdlib>

 #include <iostream>

 #include <algorithm>

 #define LL long long

 #define Max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))

 #define Min(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b))

 #define sqr(x) ((x)*(x))

 #define insert INSERT

 using namespace std;

 const int MOD = ;

 void read(int &x) {

     char ch; bool flag = ;

     for (ch = getchar(); !isdigit(ch) && ((flag |= (ch == '-')) || ); ch = getchar());

     for (x = ; isdigit(ch); x = (x<<)+(x<<)+ch-, ch = getchar());

     x *= -*flag;

 }

 int n, m, u, v, t;

 struct mat {

     int a[][];

     mat () {

         memset(a, , sizeof(a));

     }

     mat (int _a[][]) {

         for (int i = ; i <= n; i++)

             for (int j = ; j <= n; j++)

                 a[i][j] = _a[i][j];

     }

     mat operator * (const mat &b) const{

         mat ans;

         for (int i = ; i <= n; i++)

             for (int j = ; j <= n; j++)

                 for (int k = ; k <= n; k++)

                     (ans.a[i][j] += a[i][k]*b.a[k][j]) %= MOD;

         return ans;

     }

 }S, T;

 void work() {

     read(n), read(m);

     for (int i = ; i <= m; i++) {

         read(u), read(v);

         T.a[u][v] = T.a[v][u] = ;

     }

     for (int i = ; i <= n; i++)

         T.a[i][] = T.a[i][i] = ;

     S.a[][] = ;

     read(t);

     while (t) {

         if (t&) S = S*T;

         t >>= ;

         T = T*T;

     }

     int ans = ;

     for (int i = ; i <= n; i++)

         (ans += S.a[][i]) %= MOD;

     printf("%d\n", ans);

 }

 int main() {

     work();

     return ;

 }

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