【BZOJ4712】洪水（动态dp）
题面
BZOJ
然而是权限题QwQ，所以粘过来算了。
Description
小A走到一个山脚下，准备给自己造一个小屋。这时候，小A的朋友（op，又叫管理员）打开了创造模式，然后飞到
山顶放了格水。于是小A面前出现了一个瀑布。作为平民的小A只好老实巴交地爬山堵水。那么问题来了：我们把这
个瀑布看成是一个n个节点的树，每个节点有权值（爬上去的代价）。小A要选择一些节点，以其权值和作为代价将
这些点删除（堵上），使得根节点与所有叶子结点不连通。问最小代价。不过到这还没结束。小A的朋友觉得这样
子太便宜小A了，于是他还会不断地修改地形，使得某个节点的权值发生变化。不过到这还没结束。小A觉得朋友做
得太绝了，于是放弃了分离所有叶子节点的方案。取而代之的是，每次他只要在某个子树中（和子树之外的点完全
无关）。于是他找到你。
Input
输入文件第一行包含一个数n，表示树的大小。
接下来一行包含n个数，表示第i个点的权值。
接下来n-1行每行包含两个数fr，to。表示书中有一条边（fr，to）。
接下来一行一个整数，表示操作的个数。
接下来m行每行表示一个操作，若该行第一个数为Q，则表示询问操作，后面跟一个参数x，表示对应子树的根；若
为C，则表示修改操作，后面接两个参数x，to，表示将点x的权值加上to。
n<=200000，保证任意to都为非负数
Output
对于每次询问操作，输出对应的答案，答案之间用换行隔开。
Sample Input
4
4 3 2 1
1 2
1 3
4 2
4
Q 1
Q 2
C 4 10
Q 1
Sample Output
3
1
4
题解
设\(f[i]\)表示从\(i\)出发走不到所有其叶子节点的最小代价。
显然\(f[i]=min(Val[i],\sum_vf[v])\)，其中\(Val\)是删去这个点的权值，\(v\)是\(i\)的儿子。
换种写法的话，令\(g[i]\)表示已经考虑到的所有的儿子的\(f[i]\)之和，现在加入一棵新的子树\(v\)。那么就有\(f[i]=min(Val[i],g[i]+f[v])\)，这种东西似乎可以直接写成矩阵的形式。
其中矩阵乘法是\(min\)和\(+\)的形式。
既然要支持动态修改，显然动态dp来维护。
考虑在重链上如何转移，首先我们设\(g\)是所有轻儿子的\(f[v]\)的和。设\(h\)表示\(i\)的重儿子。
那么转移方程就是\(f[i]=min(Val[i],g[i]+f[h])\)。
那么，我们只考虑重链上的转移，即
\(\begin{bmatrix}0&f[h]\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}0&Val[i]\\\infty&g[i]\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&f[i]\end{bmatrix}\)
发现修改只会影响到\(g\)的值，那么直接改改就好了。
事实上那个\(\infty\)的位置随便写啥应该都没有问题的。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;
#define ll long long
#define MAX 200200
#define lson (now<<1)
#define rson (now<<1|1)
#define inf 1ll<<60
inline int read()
{
int x=0;bool t=false;char ch=getchar();
while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
if(ch=='-')t=true,ch=getchar();
while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
return t?-x:x;
}
int n;
struct Line{int v,next;}e[MAX<<1];
int h[MAX],cnt=1;
inline void Add(int u,int v){e[cnt]=(Line){v,h[u]};h[u]=cnt++;}
int dfn[MAX],ln[MAX],tim,fa[MAX],size[MAX],hson[MAX],top[MAX],bot[MAX];
void dfs1(int u,int ff)
{
fa[u]=ff;size[u]=1;
for(int i=h[u];i;i=e[i].next)
{
int v=e[i].v;if(v==ff)continue;
dfs1(v,u);size[u]+=size[v];
if(size[v]>size[hson[u]])hson[u]=v;
}
}
void dfs2(int u,int tp)
{
dfn[u]=++tim,ln[tim]=u;top[u]=tp;bot[u]=u;
if(hson[u])dfs2(hson[u],tp),bot[u]=bot[hson[u]];
for(int i=h[u];i;i=e[i].next)
if(e[i].v!=fa[u]&&e[i].v!=hson[u])
dfs2(e[i].v,e[i].v);
}
struct Matrix{ll s[2][2];}t[MAX<<2],tmp[MAX];
Matrix operator*(Matrix a,Matrix b)
{
Matrix ret;ret.s[0][0]=ret.s[0][1]=ret.s[1][0]=ret.s[1][1]=inf;
for(int i=0;i<2;++i)
for(int j=0;j<2;++j)
for(int k=0;k<2;++k)
ret.s[i][j]=min(ret.s[i][j],a.s[i][k]+b.s[k][j]);
return ret;
}
ll f[MAX],g[MAX],val[MAX];
void dp(int u,int ff)
{
f[u]=val[u];
if(hson[u])dp(hson[u],u),f[u]=min(f[u],f[hson[u]]);
else g[u]=inf;
for(int i=h[u];i;i=e[i].next)
if(e[i].v!=fa[u]&&e[i].v!=hson[u])
dp(e[i].v,u),g[u]+=f[e[i].v];
f[u]=min(f[u]+g[u],val[u]);
tmp[u]=(Matrix){0,val[u],inf,g[u]};
}
void Build(int now,int l,int r)
{
if(l==r){t[now]=tmp[ln[l]];return;}
int mid=(l+r)>>1;
Build(lson,l,mid);Build(rson,mid+1,r);
t[now]=t[rson]*t[lson];
}
void Modify(int now,int l,int r,int p)
{
if(l==r){t[now]=tmp[ln[l]];return;}
int mid=(l+r)>>1;
if(p<=mid)Modify(lson,l,mid,p);
else Modify(rson,mid+1,r,p);
t[now]=t[rson]*t[lson];
}
Matrix Query(int now,int l,int r,int L,int R)
{
if(l==L&&r==R)return t[now];
int mid=(l+r)>>1;
if(R<=mid)return Query(lson,l,mid,L,R);
if(L>mid)return Query(rson,mid+1,r,L,R);
return Query(rson,mid+1,r,mid+1,R)*Query(lson,l,mid,L,mid);
}
int GetVal(int x){return Query(1,1,n,dfn[x],dfn[bot[x]]).s[0][1];}
void Modify(int u)
{
while(u)
{
tmp[u]=(Matrix){0,val[u],inf,g[u]};Modify(1,1,n,dfn[u]);
u=top[u];if(u==1)break;
g[fa[u]]-=f[u];f[u]=GetVal(u);
g[fa[u]]+=f[u];u=fa[u];
}
}
int main()
{
n=read();
for(int i=1;i<=n;++i)val[i]=read();
for(int i=1;i<n;++i)
{
int u=read(),v=read();
Add(u,v);Add(v,u);
}
dfs1(1,0);dfs2(1,1);dp(1,0);Build(1,1,n);
int Q=read();
while(Q--)
{
char ch[3];scanf("%s",ch);
int u=read();
if(ch[0]=='Q')printf("%d\n",GetVal(u));
else val[u]+=read(),Modify(u);
}
return 0;
}