LIS最长上升子序列O(n^2)与O(nlogn)的算法

动态规划

最长上升子序列问题(LIS)。给定n个整数LIS最长上升子序列O(n^2)与O(nlogn)的算法LIS最长上升子序列O(n^2)与O(nlogn)的算法LIS最长上升子序列O(n^2)与O(nlogn)的算法LIS最长上升子序列O(n^2)与O(nlogn)的算法LIS最长上升子序列O(n^2)与O(nlogn)的算法LIS最长上升子序列O(n^2)与O(nlogn)的算法LIS最长上升子序列O(n^2)与O(nlogn)的算法LIS最长上升子序列O(n^2)与O(nlogn)的算法LIS最长上升子序列O(n^2)与O(nlogn)的算法LIS最长上升子序列O(n^2)与O(nlogn)的算法,按从左到右的顺序选出尽量多的整数,组成一个上升子序列(子序列可以理解为:删除0个或多个数,其他数的顺序不变)。例如序列1, 6, 2, 3, 7, 5,可以选出上升子序列1, 2, 3, 5,也可以选出1, 6, 7,但前者更长。选出的上升子序列中相邻元素不能相等。

最容易想到的办法就是用一个数组f[i]保存到达第i个数的LIS

初始化f[i]=1

更新 f[i]=max{f[j]+1,f[i]|a[j]<a[i],1<=j<i}

即在第i位置前的比i小的最大的LIS+1

时间复杂度O(n^2)

#include<cstdio>
#include<iostream>//vj1098
#define ll long long
#define _max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
using namespace std;
const int N=;
int n,a[N],ans;
int f[N],g[N];
int main()
{
freopen("sample.in","r",stdin);
cin>>n;
for(int i=;i<=n;i++)
scanf("%d",&a[i]),f[i]=g[i]=;
for(int i=;i<=n;i++)
for(int j=;j<i;j++)
if(a[j]<a[i])
f[i]=_max(f[i],f[j]+);
for(int i=n;i>=;i--)
for(int j=n;j>i;j--)
if(a[j]<a[i])
g[i]=_max(g[i],g[j]+);
for(int i=;i<=n;i++)
ans=_max(ans,f[i]+g[i]-);
cout<<n-ans;
return ;
}

从蓝书和网上学到了一种更高效的O(nlogn)的算法

大概思路如下

  d[i]表示以i结尾的最长的LIS的长度,则d[i]=max{0,d[j]|j<i,Aj<Ai}+1,最终答案是max{d[i]}。如果LIS中的元素可以相等,把小于号改成小于等于号即可。

  假如已经计算出两个状态a,b满足Aa<Ab,且d[a]=d[b],则对于后续所有状态i(即i>a且i>b)来说,a并不会比b差——如果b满足Ab<Aa的条件,a也满足。换句话说,如果我们只保留a,一定不会丢失最优解。

  这样,对于相同的d值,最需要保留A最小的一个。我们用g[i]表示d值为i的最小状态编号(如果不存在,g[i]定义为正无穷)。根据上推理可证明

  g[1]<=g[2]<=g[3]<=……<=g[n]

#include<cstdio>
#include<iostream>
#define ll long long
#define _max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
using namespace std;
const int N=;
int n,k,a[N],b[N],o[N],ans,ma,mb;
int j,da[N],db[N],len,la,lb,mid;
int findpos(int *d,int l,int r,int key){
while(l<=r){
mid=(l+r)>>;
if(key>d[mid]){
if(key<=d[mid+])
return mid;
else l=mid+;
}else r=mid-;
}return ;
}
int main(){
cin>>n>>k;
for(int i=;i<=n;i++) scanf("%d",o+i);
for(int i=;i<k;i++) o[i]<o[k]?a[++la]=o[i]:la=la;
for(int i=k+;i<=n;i++) o[i]>o[k]?b[++lb]=o[i]:lb=lb;
da[]=a[],len=,j=;
for(int i=;i<=la;i++)da[a[i]>da[len]?++len:findpos(da,,len,a[i])+]=a[i];
db[]=b[],len=,j=;
for(int i=;i<=lb;i++)db[b[i]>db[len]?++len:findpos(db,,len,b[i])+]=b[i];
for(int i=la;i>=;i--)da[i]?ans+=i,i=:i=i;
for(int i=lb;i>=;i--)db[i]?ans+=i,i=:i=i;
cout<<ans+;
return ;
}

汝佳的code核心

for(int i=;i<=n;i++)g[i]=INF;
for(int i=;i<=n;i++){
int k=lower_bound(g+,g+n+,A[i])-g;
d[i]=k;
g[k]=a[i];
}
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