决策树是一类常见的机器学习方法，它可以实现分类和回归任务。决策树同时也是随机森林的基本组成部分，后者是现今最强大的机器学习算法之一。
1. 简单了解决策树
举个例子，我们要对”这是好瓜吗？”这样的问题进行决策时，通常会进行一系列的判断：我们先看”它是什么颜色的”，如果是”青绿色”， 我们再看”它的根蒂是什么形态”，如果是”蜷缩”，我们再判断”它敲起来是什么声音”，最后我们判断它是一个好瓜。决策过程如下图所示。
决策过程的最终结论对应了我们所希望的判定结果，”是”或”不是”好瓜。上图就是一个简单的决策树。
那么我们就会有疑问了，为什么这棵树是这样划分的呢？一定要以”色泽”作为根节点吗？对此，就需要划分选择最优的属性。
2. 划分选择
一般而言，我们希望决策树的分支节点所包含的样本尽可能属于同一类别，即结点的”纯度”越高越好。常用的纯度有”信息增益”、 ”信息增益率”、 ”基尼指数”或”均方差”，分别对应ID3、C4.5、CART。
3. ID3决策树
3.1 信息熵
信息熵是度量样本集合纯度最常用的一种指标。假定当前样本集合 中第类样本所占的比例为，则D的信息熵定义为：
其中pi是数据集D中任意样本属于类Ci的概率，用 估计。
Info(D)的值越小，D的纯度越高。
3.2 条件熵
当前样本集中，考虑到不同的分支结点所包含的样本数不同，可以赋予不同的权重，样本数越多的分支结点对应的影响越大，即为条件熵，定义如下：
其中，充当第j个划分的权重。
3.3 信息增益
信息增益 = 信息熵 – 条件熵，即
当信息熵一定时，条件熵越小（即纯度越大），信息增益越大，选择信息增益最大的属性作为最优划分属性。
3.4 算法过程
输入：训练集 ;
属性集
(1) 生成结点node；
训练集：
属性集：
(2) 如果数据集D都属于同一个类C，那么将node标记为C类叶子结点，结束；
(3) 如果数据集D中没有其他属性可以考虑，那么按照少数服从多数的原则，在node上标出数据集D中样本数最多的类，结束；
(4) 否则，根据信息增益，选择一个信息增益最大的属性作为结点node的一个分支。
(5) 结点属性选定后，对于该属性中的每个值：
a) 每个值生成一个分支，并将数据集中与该分支有关的数据收集形成分支结点的样本子集Dv，删除结点属性那一栏；
b) 如果Dv非空，则转(1)，运用以上算法从该结点建立子树。
4. C4.5决策树
信息增益准则偏向于可取值数目较多的属性（例如：将”编号”作为一个划分属性，那么每个”编号”仅包含一个样本，分支结点的纯度最大，条件熵为0，信息增益=信息熵，信息增益达到最大值），为减少这种偏好带来的不利影响，使用了”信息增益率”来选择最优划分属性。
4.1 信息增益率
信息增益率是在信息增益的基础上，增加了属性A的信息熵。
信息增益率的定义如下：
其中
该值表示数据集D按属性A分裂的v个划分产生的信息。
注意：信息增益率偏向于可取值数目较少的属性，所以C4.5算法不是直接选择增益率最大的划分属性，而是先从划分属性中找出信息增益高于平均水平的属性，再从中选择信息增益率最高的属性。
4.2 算法过程
输入：
训练集
属性集
(1) 生成结点node；
(2) 如果数据集D都属于同一个类C，那么将node标记为C类叶子结点，结束；
(3) 如果数据集D中没有其他属性可以考虑，那么按照少数服从多数的原则，在node上标出数据集D中样本数最多的类，结束；
(4) 否则，根据信息增益率，先从划分属性中找出信息增益高于平均水平的属性，再从中选择信息增益率最高的属性。作为结点node的一个分支。
(5) 结点属性选定后，对于该属性中的每个值：
a) 每个值生成一个分支，并将数据集中与该分支有关的数据收集形成分支结点的样本子集Dv，删除结点属性那一栏；
b) 如果Dv非空，则转(1)，运用以上算法从该结点建立子树。
5. CART决策树
CART树又名分类回归树，可用于分类和回归。
5.1 基尼指数
分类时数据集的纯度可以用基尼值来度量：
纯度越大，基尼值越小。
属性A的基尼指数定义如下：
选择基尼指数最小的属性作为最优划分属性。
5.2 均方差
回归时数据集D的纯度可以用均方差来度量：
其中
选择均方差最小的属性作为最优划分属性。
5.3 算法过程
同上，第(4)步中计算”信息增益率”改为”基尼指数”或”均方差”即可。
6. 算法比较
|
算法 |
支持模型 |
树结构 |
特征选择 |
连续值处理 |
缺失值处理 |
剪枝 |
特征属性多次使用 |
|
ID3 |
分类 |
多叉树 |
信息增益 |
不支持 |
不支持 |
不支持 |
不支持 |
|
C4.5 |
分类 |
多叉树 |
信息增益率 |
支持 |
支持 |
支持 |
不支持 |
|
CART |
分类、回归 |
二叉树 |
基尼系数、均方差 |
支持 |
支持 |
支持 |
支持 |
7. 决策树优缺点
优点：
- 推理过程容易理解，计算简单，可解释性强。
- 比较适合处理有缺失属性的样本。
- 可自动忽略目标变量没有贡献的属性变量，也为判断属性变量的重要性，减少变量的数目提供参考。
缺点：
- 容易造成过拟合，需要采用剪枝操作。
- 忽略了数据之间的相关性。
- 对于各类别样本数量不一致的数据，信息增益偏向于那些更多数值的特征。
8. 决策树适用情景
- 决策树能够生成清晰的基于特征选择不同预测结果的树状结构，数据分析师希望更好的理解手上的数据的时候可以使用。
- 决策树更大的作用是作为一些更有用的算法的基石。例如：随机森林、AdaBoost、GBDT。
以上为决策树的介绍说明，后续讲解C4.5和CART树的连续值处理、缺失值处理、剪枝，敬请期待！