题意简述

Link

题目说的很清楚了，这里不写了。

\(1 \leq n \leq 5\times 10^5\)。

Solution

考虑如果给的树是一个序列。（下面用 \(str_i\) 表示 \(i\) 位置上的字符）

我们设 \(f_i\) 表示以 \(i\) 结尾的合法子串个数（非空），对于节点 \(i\) ，它的答案就是所有前驱的 \(f_i\) 的和，即前缀和。

我们可以一边扫一边维护一个栈，这个栈就和判断字符串是否是合法括号匹配的栈几乎相同，但是要记录一下左括号的位置。

• 如果 \(str_i=(\) ，那么 \(f_i=0\) （\(i\) 没有字符可以匹配），同时在栈里加入 \(i\)。
• 如果 \(str_i=)\)，那么先在栈中找到与它匹配的那个字符的位置（找不到 \(f_i=0\)），设这个位置为 \(t\) ，那么合法子串个数就相当于以 \(t\) 的前一个位置为结尾的合法字符串数 \(+1\) （相当于拼在一起，最后的 \(+1\) 就是前面不选，只选这一个子串）。

下面来考虑树，做法基本相同，状态定义依然和上面一样，上文的一个位置的前一个位置就是那个位置的父亲。

我们可以 \(dfs\) ，同时维护一个栈， \(dfs\) 进一个点的时候就做对应的操作，回溯的时候要还原。

代码如下：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <queue>
typedef long long LL;
using namespace std;
inline int read() {
	int num = 0 ,f = 1; char c = getchar();
	while (!isdigit(c)) f = c == '-' ? -1 : f ,c = getchar();
	while (isdigit(c)) num = (num << 1) + (num << 3) + (c ^ 48) ,c = getchar();
	return num * f;
}
const int N = 5e5 + 5;
struct Edge {
	int to ,next;
	Edge (int to = 0 ,int next = 0) : to(to) ,next(next) {}
}G[N]; int head[N] ,idx;
inline void add(int u ,int v) {
	G[++idx] = Edge(v ,head[u]); head[u] = idx;
}
char str[N];
int f[N] ,s[N] ,top ,fa[N];
LL ans[N];
inline void dfs(int now) {
	int last = 0;
	if (str[now] == '(') s[++top] = now;
	else {
		if (top) {
			last = s[top--];
			f[now] = f[fa[last]] + 1;
		}
		else last = -1;
	}
	ans[now] = ans[fa[now]] + f[now];
	for (int i = head[now]; i ; i = G[i].next) {
		int v = G[i].to;
		dfs(v);
	}
	if (last == 0) top--;
	else if (last != -1) s[++top] = last;
}
int n;
signed main() {
	n = read();
	scanf("%s" ,str + 1);
	for (int i = 2; i <= n; i++) {
		fa[i] = read();
		add(fa[i] ,i);
	}
	dfs(1);
	LL res = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i++) res ^= ans[i] * i;
	printf("%lld\n" ,res);
	return 0;
}