数据结构-线段树
参考资料
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线段树是所有 RMQ 中最常用的数据结构。
功能：区间修改区间查询。不止最值、求和。只要可递推的值都可以构造线段树。
如果区间大小为 n，线段树有 cnt 个节点，那么 2n−1≤cnt<4n。
节点
对于每个节点 x，和堆类似，父亲节点为 x>>1（即 x/2 下取整的位运算方法，位运算方便而且快），左儿子为 x<<1（即 2x），右儿子为 x<<1|1（即 2x+1）。
同时每个节点对应一段区间，所以叫线段树。节点 1 对应的区间为 1∼n。设一个节点对应的区间为 l∼r，那么它的左儿子对应的区间就是 l∼mid，其中 mid=(l+r)>>1，右儿子区间为 mid+1∼r。如果一个节点对应单点区间，就没有儿子。
同时每个节点对应一个值，即该区间的 RMQ 值。如果是求最值问题，就表示该区间最大值；如果是求和问题，就表示该区间的和。
操作（单点修改区间查询）
一个线段树是求和还是求最值或者求别的东西，取决于 pushup(k) 函数，其中 k 为节点编号，时间复杂度 O(1)。
void pushup(int k){v[k]=max(v[k<<1],v[k<<1|1]);}//求最大值
根据原序列构造初始的线段树用 build() 函数，单点节点上的值就为单点的值，递归从下到上构造，时间复杂度 O(nlogn)。
void build(int k=1,int l=1,int r=n){//表示外部应用默认k=1,l=1,r=n
if(l==r){v[k]=a[l];return;} //单点节点
build(k<<1,l,mid),build(k<<1|1,mid+1,r); //递归构造
pushup(k); //递推
}
先讲单点修改（加上 y），只需与 build() 函数类似的递归操作即可，如果到达单点节点，就修改，不走那些跟查询单点没关系的区间、别忘了修改完后也要递推，时间复杂度 O(logn)。
void fix(int x,int y,int k=1,int l=1,int r=n){
if(l==x&&r==x){v[k]+=y;return;} //单点修改
if(mid>=x) fix(x,y,k<<1,l,mid); //递归左儿子
else fix(x,y,k<<1|1,mid+1,r); //递归右儿子
pushup(k);//递推
}
区间查询，如果单前节点在查询区间内，就返回值。否则，递归左儿子右儿子，递推得区间查询值。时间复杂度 O(logn)，因为只会走相关的 logn 个节点。
int fmax(int x,int y,int k=1,int l=1,int r=n){
if(x<=l&&r<=y) return v[k]; //在查找区间内，返回值
int res=0;
if(mid>=x) res=max(res,fmax(x,y,k<<1,l,mid));
if(mid<y) res=max(res,fmax(x,y,k<<1|1,mid+1,r));
return res;
}
总时间复杂度 O(nlogn) ，全代码：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+10;
int n,m,a[N];
namespace Sumtree{
#define mid ((l+r)>>1)
int v[N<<2];
void pushup(int k){v[k]=max(v[k<<1],v[k<<1|1]);}
void build(int k=1,int l=1,int r=n){
if(l==r){v[k]=a[l];return;}
build(k<<1,l,mid),build(k<<1|1,mid+1,r);
pushup(k);
}
void fix(int x,int y,int k=1,int l=1,int r=n){
if(l==x&&r==x){v[k]+=y;return;}
if(mid>=x) fix(x,y,k<<1,l,mid);
else fix(x,y,k<<1|1,mid+1,r);
pushup(k);
}
int fmax(int x,int y,int k=1,int l=1,int r=n){
if(x<=l&&r<=y) return v[k];
int res=0;
if(mid>=x) res=max(res,fmax(x,y,k<<1,l,mid));
if(mid<y) res=max(res,fmax(x,y,k<<1|1,mid+1,r));
return res;
}
#undef mid
}using namespace Sumtree;
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++)
scanf("%d",a+i);
build();
for(int i=1,x,y,z;i<=m;i++){
scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
if(x==1) fix(y,z);
else printf("%d\n",fmax(y,z));
}
return 0;
}
线段树如果只能单点修改区间查询，代码还这么长，就没人用他了。所以可想而知，线段树还可以区间修改，区间查询。
操作（区间修改区间查询）
先看如何区间修改，初学者会这么写：
void fix(int x,int y,int z,int k=1,int l=1,int r=n){
if(x<=l&&r<=y){v[k]+=z;return;}
if(mid>=x) fix(x,y,z,k<<1,l,mid);
if(mid<y) fix(x,y,z,k<<1|1,mid+1,r);
pushup(k);
}
问题是这样的话对于每个区间属于 [x,y] 的节点，它的子节点就会没被修改。
初学者还可能这么写：
void fix(int x,int y,int z,int k=1,int l=1,int r=n){
if(l==r){v[k]+=z;return;}
if(mid>=x) fix(x,y,z,k<<1,l,mid);
if(mid<y) fix(x,y,z,k<<1|1,mid+1,r);
pushup(k);
}
问题在于时间复杂度为 O(n)。
那么区间修改的主角就要出场了——懒标记（lazytag）。对于每个节点，多加一个值，mk[]。mk[x] 表示 x 节点的标记。每次修改在前面那个初学者的代码上加上终止区间懒标记。
void fix(int x,int y,int z,int k=1,int l=1,int r=n){
if(x<=l&&r<=y){v[k]+=z,mk[k]+=z;return;}
pushdown(k);
if(mid>=x) fix(x,y,z,k<<1,l,mid);
if(mid<y) fix(x,y,z,k<<1|1,mid+1,r);
pushup(k);
}
这时你注意到了上方代码第 3 行有一个 pushdown(k)，那就是一个专门用来处理懒标记的函数，负责把标记下放，时间复杂度为 O(1)。
void pushdown(int k){
if(!mk[k]) return;
v[k<<1]+=mk[k],v[k<<1|1]+=mk[k];
mk[k<<1]+=mk[k],mk[k<<1|1]+=mk[k],mk[k]=0;
}
有了它，区间修改就没必要一直修改到单点了，可以修改到所属区间，然后记下懒标记。下次到这个区间的时候把它 pushdown 下放。
然后区间修改区间查询的代码就是这样：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+10;
int n,m,a[N];
namespace Sumtree{
#define mid ((l+r)>>1)
int v[N<<2],mk[N<<2];
void pushup(int k){v[k]=max(v[k<<1],v[k<<1|1]);}
void pushdown(int k){
if(!mk[k]) return;
v[k<<1]+=mk[k],v[k<<1|1]+=mk[k];
mk[k<<1]+=mk[k],mk[k<<1|1]+=mk[k],mk[k]=0;
}
void build(int k=1,int l=1,int r=n){
mk[k]=0;
if(l==r){v[k]=a[l];return;}
build(k<<1,l,mid),build(k<<1|1,mid+1,r);
pushup(k);
}
void fix(int x,int y,int z,int k=1,int l=1,int r=n){
if(x<=l&&r<=y){v[k]+=z,mk[k]+=z;return;}
pushdown(k);
if(mid>=x) fix(x,y,z,k<<1,l,mid);
if(mid<y) fix(x,y,z,k<<1|1,mid+1,r);
pushup(k);
}
int fmax(int x,int y,int k=1,int l=1,int r=n){
if(x<=l&&r<=y) return v[k];
pushdown(k);
int res=0;
if(mid>=x) res=max(res,fmax(x,y,k<<1,l,mid));
if(mid<y) res=max(res,fmax(x,y,k<<1|1,mid+1,r));
return res;
}
#undef mid
}using namespace Sumtree;
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++)
scanf("%d",a+i);
build();
for(int i=1,x,y,z;i<=m;i++){
scanf("%d",&x);
if(x==1) scanf("%d%d%d",&x,&y,&z),fix(x,y,z);
else scanf("%d%d",&x,&y),printf("%d\n",fmax(x,y));
}
return 0;
}
时间复杂度还是 O(nlogn) 的。
线段树有个经典例题，可以帮助你弄懂线段树的其他操作。
[USACO08FEB]酒店Hotel
第一行输入 n，m。n 代表有 n 个房间，编号为 1∼n，开始都为空房。m 表示以下有 m 行操作，以下每行先输入一个数 i，表示一种操作：
若 i 为1，表示查询房间。再输入一个数 x，表示在 1∼n 房间中找到长度为 x 的连续空房，输出连续 x 个房间中左端的房间号，尽量让这个房间号最小。若找不到长度为 x 的连续空房，输出0。并且在这 x 个空房间中住上人。
若 i 为 2，表示退房，再输入两个数 x，y 代表 房间号 x∼x+y−1 退房，即让房间为空。
讲解：
那么这题中每个线段树节点需要有四个值：
lf[k]：k 这个节点区间从左边开始连续空房数。
rt[k]：k 这个节点区间从右边开始连续空房数。
v[k]：k 这个节点区间内最长的连续空房数。
mk[k]：k 这个节点退房、住人区间修改懒标记。
所以有递推式（其中 ? 为三目运算符）：
void pushup(int k,int l,int r){
int mid=(l+r)>>1;
lf[k]=lf[k<<1]==mid-l+1?lf[k<<1]+lf[k<<1|1]:lf[k<<1];
rt[k]=rt[k<<1|1]==r-mid?rt[k<<1|1]+rt[k<<1]:rt[k<<1|1];
v[k]=max(max(v[k<<1],v[k<<1|1]),rt[k<<1]+lf[k<<1|1]);
}
可以这么初始化：
void build(int k=1,int l=1,int r=n){
mk[k]=-1;
if(l==r){lf[k]=rt[k]=v[k]=1;return;}
int mid=(l+r)>>1;
build(k<<1,l,mid),build(k<<1|1,mid+1,r);
pushup(k,l,r);
}
重点在于怎么查询。如下代码，find(x,k,l,r) 表示寻找 k 这个节点区间里寻找最左的连续 x 空房。
int find(int x,int k=1,int l=1,int r=n){
if(v[k]<x) return -1; //如果区间内最长连续空房小于x，逃
int mid=(l+r)>>1;
pushdown(k,l,r);//千万别忘了pushdown
if(v[k<<1]>=x) return find(x,k<<1,l,mid); //如果左儿子有满足要求的区间，返回左儿子满足要求的区间左端点
if(rt[k<<1]+lf[k<<1|1]>=x) return mid-rt[k<<1]+1;//如果满足区间横跨左右儿子区间，返回横跨区间左端点
return find(x,k<<1|1,mid+1,r);//返回右儿子满足区间左端点
}
可以发现，这个代码的时间复杂度也是 O(nlogn) 的。
蒟蒻的 \color{#44cc00}\texttt{AC} 代码：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=5e4+10;
int n,m;
namespace sumtree{
int lf[N<<2],rt[N<<2],v[N<<2],mk[N<<2];
void pushup(int k,int l,int r){
int mid=(l+r)>>1;
lf[k]=lf[k<<1]==mid-l+1?lf[k<<1]+lf[k<<1|1]:lf[k<<1];
rt[k]=rt[k<<1|1]==r-mid?rt[k<<1|1]+rt[k<<1]:rt[k<<1|1];
v[k]=max(max(v[k<<1],v[k<<1|1]),rt[k<<1]+lf[k<<1|1]);
}
void pushdown(int k,int l,int r){
if(mk[k]==-1) return;
int mid=(l+r)>>1;
lf[k<<1]=rt[k<<1]=v[k<<1]=(!mk[k])*(mid-l+1);
lf[k<<1|1]=rt[k<<1|1]=v[k<<1|1]=(!mk[k])*(r-mid);
mk[k<<1]=mk[k<<1|1]=mk[k],mk[k]=-1;
}
void build(int k=1,int l=1,int r=n){
mk[k]=-1;
if(l==r){lf[k]=rt[k]=v[k]=1;return;}
int mid=(l+r)>>1;
build(k<<1,l,mid),build(k<<1|1,mid+1,r);
pushup(k,l,r);
}
int find(int x,int k=1,int l=1,int r=n){
if(v[k]<x) return -1;
if(l==r) return l;
int mid=(l+r)>>1;
pushdown(k,l,r);
if(v[k<<1]>=x) return find(x,k<<1,l,mid);
if(rt[k<<1]+lf[k<<1|1]>=x) return mid-rt[k<<1]+1;
return find(x,k<<1|1,mid+1,r);
}
void clear(int x,int y,int k=1,int l=1,int r=n){
if(x<=l&&r<=y){
lf[k]=rt[k]=v[k]=r-l+1;
mk[k]=0; return;
}
pushdown(k,l,r);
int mid=(l+r)>>1;
if(mid>=x) clear(x,y,k<<1,l,mid);
if(mid<y) clear(x,y,k<<1|1,mid+1,r);
pushup(k,l,r);
}
void full(int x,int y,int k=1,int l=1,int r=n){
if(x<=l&&r<=y){
lf[k]=rt[k]=v[k]=0;
mk[k]=1; return;
}
pushdown(k,l,r);
int mid=(l+r)>>1;
if(mid>=x) full(x,y,k<<1,l,mid);
if(mid<y) full(x,y,k<<1|1,mid+1,r);
pushup(k,l,r);
}
}using namespace sumtree;
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
build();
for(int i=1;i<=m;i++){
int op,x,y;
scanf("%d",&op);
if(op==1){
scanf("%d",&y);
if((x=find(y))==-1) puts("0");
else {
printf("%d\n",x);
full(x,x+y-1);
}
} else {
scanf("%d%d",&x,&y);
clear(x,x+y-1);
}
}
return 0;