洛谷 P3263 [JLOI2015]有意义的字符串

洛谷

首先,看到\((\frac{(b+\sqrt{d})}{2})^n\),很快能够想到一元二次方程的解\(\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\)。

所以可以推出,\(\frac{(b+\sqrt{d})}{2}\)和\(\frac{(b-\sqrt{d})}{2}\)是\(x^2-bx+\frac{b^2-d}{4}\)的解。

方程移项得:\(x^2=b^2+\frac{d-b^2}{4}\)。

所以设\(f[i]=(\frac{b+\sqrt{d}}{2})^i+(\frac{b-\sqrt{d}}{2})^i\)。

数据范围已经提示b mod 2=1,d mod 4=1,所以f[i]肯定整数。

所以可以列出递推式:\(f[i]=bf[i-1]+\frac{d-b^2}{4}f[i-2]\)。

然后草稿纸上画一画可得:f[0]=2,,f[1]=b。

注意模数7528443412579576937巨大,乘的时候要用慢速乘或快速乘。

这时候我们考虑如何从f[n]推出ans。

由题易得:\(b^2<d<(b+1)^2\),所以有两种情况:

第1种:n为奇数。\(-1<(\frac{b-\sqrt{d}}{2})^n<0\)。

第2种:n为偶数。\(0\leq(\frac{b-\sqrt{d}}{2})^n<1\)。

所以当\(b^2!=d\),且n为偶数时,答案为f[n]-1,否则就是f[n]。

最后只要把上面递推式转化成矩阵,再快速幂就A了。

code:

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef unsigned long long ull; const ull m=7528443412579576937;
ull b,d,n,p,f[3]={0,2},t[3][3]={
{0,0,0},
{0,0,0},
{0,1,0}
};
ull ans; ull suan(ull x,ull y)
{
ull d=0;
while (y) {
if (y&1) d=(d%m+x%m)%m;
x=(x%m+x%m)%m,y>>=1;
}
return d%m;
} void fuyan()
{
ull d[3];
memcpy(d,f,sizeof(d));
memset(f,0,sizeof(f));
for (int i=1;i<=2;++i)
for (int j=1;j<=2;++j)
f[i]=(f[i]%m+suan(d[j]%m,t[j][i]%m))%m;
} void yuzhouzhou()
{
ull d[3][3];
memcpy(d,t,sizeof(d));
memset(t,0,sizeof(t));
for (int i=1;i<=2;++i)
for (int j=1;j<=2;++j)
for (int k=1;k<=2;++k)
t[i][j]=(t[i][j]%m+suan(d[i][k]%m,d[k][j]%m))%m;
} int main()
{
cin>>b>>d>>n;
p=n;
f[2]=b;
t[1][2]=(d-b*b)/4;
t[2][2]=b;
if (n==0) cout<<"1";
else {
--n;
while (n) {
if (n&1) fuyan();
yuzhouzhou();n>>=1;
}
ans=f[2];
if (b*b!=d&&p%2==0) --ans;
if (ans<0) ans+=m;
cout<<ans;
}
return 0;
}
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