五次以上方程无求根公式的证明框架

1. 一般方程 f ( x ) = x n − t 1 x n − 1 + ⋯ + ( − 1 ) n t n = 0 f(x)=x^n - t_1x^{n-1} + \dots + (-1)^n t_n=0 f(x)=xn−t1​xn−1+⋯+(−1)ntn​=0有求根公式，意味着在 f ( x ) f(x) f(x)在 F = Q ( t 1 , … , t n ) F = \mathbb{Q}(t_1, \dots, t_n) F=Q(t1​,…,tn​)上的分裂域 E E E上存在 F F F的根塔，也即存在域扩张链 F = F 1 ⊆ F 2 ⊆ ⋯ ⊆ F r = E F=F_1\subseteq F_2 \subseteq \dots \subseteq F_{r}=E F=F1​⊆F2​⊆⋯⊆Fr​=E满足 F i + 1 = F i ( d ) F_{i+1} = F_i(d) Fi+1​=Fi​(d)并且 d n = F i d^n = F_i dn=Fi​。
2. E E E上存在 F F F的根塔当且仅当伽罗瓦群 Gal ( E / F ) \text{Gal}(E/F) Gal(E/F)是可解群，也即存在正规群列 Gal ( E / F ) = G 0 ⊳ G 1 ⊳ ⋯ ⊳ G m = { 1 } \text{Gal}(E/F) = G_0 \rhd G_1 \rhd \dots \rhd G_m = \{1\} Gal(E/F)=G0​⊳G1​⊳⋯⊳Gm​={1}满足每个因子群 G i − 1 / G i G_{i-1}/G_i Gi−1​/Gi​是交换群。
3. f ( x ) f(x) f(x)在 F = Q ( t 1 , … , t n ) F = \mathbb{Q}(t_1, \dots, t_n) F=Q(t1​,…,tn​)上的分裂域是对称群 S n S_n Sn​
4. 可解群的子群亦可解；非交换单群不可解。
5. A 5 A_5 A5​是非交换单群，它是 S n , n ≥ 5 S_n, n \geq 5 Sn​,n≥5的子群。