对于任意 整数 \(a,b,m\)，若有关于 整数 \(x,y\) 的方程

\[ax+by=m \]

则该方程有解的充要条件为 \(\gcd(a,b)\mid m\).

证明：

\(\because \gcd(a,b)\mid a,\gcd(a,b)\mid b\)

\(\therefore \gcd(a,b)\mid ax,\gcd(a,b)\mid by\)

\(\therefore \gcd(a,b)\mid (ax+by)\)

\(\therefore \gcd(a,b)\mid m\)

证毕。