题目

数字染色

给出一个正整数序列，求有多少子序列的gcd不为1。

求解

假设子序列gcd为x，那么只需求出x的倍数的数量m，gcd为x的子序列数量即为 2 m − 1 2^m-1 2m−1。
这样可以求出 gcd分别为2的倍数、3的倍数、4的倍数… 的方案数，剩下的就是容斥了，比如6，计算2的倍数、3的倍数的时候重复算了，那么要减去。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 1e5 + 5;

int mul[N];
int a[N];

int get(int x)
{
    map<int, int> mp;
    for (int i = 2; i <= x / i; i++)
    {
        if (x % i == 0)
        {
            while (x % i == 0)
            {
                mp[i]++;
                if (mp[i] >= 2)
                    return 0;
                x /= i;
            }
        }
    }
    if (x >= 2)
        mp[x]++;
    return mp.size() & 1 ? -1 : 1;
}
void init() //预处理莫比乌斯（也可以欧拉筛线性处理
{
    mul[1] = 1;
    for (int i = 2; i < N; i++)
        mul[i] = get(i);
}
int tong[N], num[N];

const long long mod = 1e9 + 7;

long long qpow(long long a, long long b)
{
    long long res = 1;
    while (b)
    {
        if (b & 1)
        {
            res = res * a % mod;
        }
        b /= 2;
        a = a * a % mod;
    }
    return res;
}
void solve()
{
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        cin >> a[i];
        tong[a[i]]++;
    }
    for (int i = 2; i <= 1e5; i++)
        for (int j = i; j <= 1e5; j += i)
            num[i] += tong[j]; //num[i]表示i的倍数有多少个

    long long ans = 0;
    for (int i = 2; i <= 1e5; i++) //莫比乌斯容斥
        ans = (ans - mul[i] * (qpow(2, num[i]) - 1) % mod + mod) % mod;
    cout << ans << endl;
}

int main()
{
    init();
    solve();
    return 0;
}