假设检验（Hypothesis Testing）

1. 什么是假设检验呢？

　　假设检验又称为统计假设检验，是数理统计中根据一定假设条件由样本推断总体的一种方法。

　　什么意思呢，举个生活中的例子：买橘子（借用http://www.360doc.com/content/16/0617/08/31718185_568436468.shtml）

　　当我们去买橘子的时候，无论甜不甜，老板都会说：“挺甜的，不信拿一个尝尝”。我们随手拿一个（这就相当于抽样），此时我们对于这些橘子甜或不甜的判断全基于这个橘子（样本），为什么不拿总体来判断呢？老板能让你把橘子都吃一遍？（大多数情况下无法直接对总体进行判断）。当我们吃到的橘子是甜的，我们会想，随便拿一个就是甜的，那么这些橘子大部分都是甜的；当我们吃到的是酸的，我们会想，随便拿一个就是酸的，我运气有那么不好吗，肯定是大部分橘子都是酸的。

　　假设检验就是对总体（全部橘子）提出假设（甜或不甜），然后通过样本（随便拿一个橘子）进行统计计算，来推断假设是否成立的一种方法。

2.假设检验的依据是什么呢？

　　假设检验重要的依据是人们的一条普遍经验，即小概率事件在一次实验中很难发生，如果一旦发生，就认为原来的假设不成立，从而拒绝H₀。

　　例如, 某彩票抽奖处声称该彩票中奖概率为p(A) = 99.99%，现在我们做出如下假设

　　若假设H₀正确，则抽奖一次不中奖的概率为0.01%，这是一个小概率事件。那么我们通过抽奖一次，来检验该假设。

　　假设检验的基本思想：先对总体的参数或分布函数的表达式作出某种假设，然后构造出一个在假设成立下出现可能性甚小的事件（即小概率事件）。如果试验或抽样的结果使该小概率事件出现了，这与小概率事件原理相违背，表明原来的假设有问题，应予以否定，即拒绝这个假设；若该小概率事件在一次试验或抽样中并未出现，就没有理由否定这个假设，表明试验或抽样结果支持这个假设，这时假设与实验结果是一致的，或者说可以接受这个假设。

　　但是，我们要注意的是：在假设检验中“拒绝”和“接受”反映了决策者在所面对的样本证据下，对该命题所采取的一种态度、倾向性，而不是在逻辑上“证明”该命题正确与否！又回到刚开始买橘子的例子，我们在拿一个尝过后，对所有橘子下的结论（大部分是甜的或者大部分是酸的）都是我们的主观猜想，而非客观事实。

3.怎么做假设检验呢？

　　假设检验的一般步骤为：

　　（I）跟据实际问题提出零假设（H₀）与备择假设（H₁）；

　　（II）选择合适的检验统计量，并确定在H₀为真时的分布；

　　（III）给定显著性水平α，确定临界点，得到接受域和否定域；

　　（IV）计算检验统计量的样本值；

　　（V）做出判断，若值落在否定域，则拒绝H₀；若落在接受域，则在所选择的显著性水平上，不能拒绝H₀。

假设

　　我们将对总体提出的某种假设称为零假设（也称原假设），记为H₀；将与原假设矛盾的假设称为备择假设（也称对立假设），记为H₁.

　　零假设是一种无差别假设，表示要被拒绝的目的。备择假设是与H₀相反的结论。若H₀被拒绝，H₁就可能被接受。比如，研究两种药物对治疗同一种疾病的效果不同。这个结论就是要研究的假设，为了检验该假设，我们假设用μ表示药物对疾病的治疗效果，写出原假设H₀：μ₁ = μ₂（相同的治疗效果）；备择假设H₁：μ₁ ≠ μ₂（不同的治疗效果）。如果得到的信息拒绝H₀，则可以接受H₁，即两种药物对同一疾病的治疗效果是不同的。

　　H₁的叙述是由研究假设的性质确定的。若研究假设只是考察两个事物有差异，则备择假设H₁：μ₁ ≠ μ₂；若考察其差值的方向，则H₁或者为μ₁  > μ₂，或者为μ₁  < μ₂。

　　我们称形如

H₀ : μ₁ = μ₂ , H₁ : μ₁ ≠ μ₂

的假设检验为双边检验；

形如

H₀ : μ₁ ≥ μ₂ , H₁ : μ₁ < μ₂

的假设检验为左边检验；

形如

H₀ : μ₁ ≤ μ₂ , H₁ : μ₁ > μ₂

的假设检验为右边检验。

　　左边检验和右边检验统称为单边检验。

显著性水平

　　前面说到假设检验的依据是小概率事件原理，但是，很难发生并不等于绝不发生，因此，在得出对H₀的判定时，可能会发生两类错误：第一类错误是当H₀实际上为真时拒绝H₀；第二类错误是当H₀实际为假时接受H₀。第一类错误是“以真为假”的错误，犯第一类错误的概率由α给出，α越大，H₀越容易错误地被拒绝；第二类错误是“以假为真”的错误，犯第二类错误的概率通常用β表示。可以发现犯这两类错误的概率之间存在反比关系，所以，在样本量确定为n时，α减小会使β增大。若希望同时减小犯两类错误的可能性，必须增加样本数目n。

　　定义α：当原假设H₀为真时，假设检验统计量的样本值却落在接受域之外，因而拒绝原假设H₀，这类错误称为第一类错误，其发生的概率称为犯第一类错误的概率或称弃真概率，通常记为α，即

P(拒绝H₀ | H₀为真) = α

　　定义β：当原假设H₀为不真时，假设检验统计量的样本值却落在接受域之内，因而接受原假设H₀，这类错误称为第二类错误，其发生的概率称为犯第二类错误的概率或称存伪概率，通常记为β，即

P(接受H₀ | H₀不真) = β

 

　　在实际应用时，我们通常只能控制犯第一类错误的概率，也就是错误地拒绝H₀的概率，这个概率就叫做显著性水平。一般检验时，取α = 0.05，α = 0.01较多。为了保证β不至于太大，样本数量不能太少在。在生物信息学里，样本量是很大的，所以β也会很小，因此重点关注α。

否定域

　　我们将拒绝零假设H₀的区域称为拒绝域。否定域的大小与显著性水平α的选取有关。

　　否定域的位置（不是大小）与备择假设H₁的性质有关。若H₁是指出预定方向的，如H₁：μ > μ₀，则假设检验为单边检验；若H₁未指出预定的方向，如H₁：μ≠μ₀，则为双边检验。图1.1是α=0.05的单边检验否定域，图1.2是α=0.05的双边检验否定域。可以看出，对于同一显著性水平α，两种否定域的位置不同，但总的大小并没有什么不同。

　　在进行统计检验时，若根据样本数据计算的统计量数值落入否定域，则认为零假设H₀不成立，称作在显著性水平α下拒绝H₀；否则认为零假设H₀不成立，称作在显著性水平α下不能拒绝H₀.

参考 《非参数统计》易丹辉