感知机一文中提到了感知机模型在分类问题上的应用，如果，我们需要将其使用于回归问题呢，应该怎样处理呢？

其实只要修改算法的最后一步，
sign(x)={+1−1,x≥0,x<0(1.1)$sign(x)=\left\{\begin{matrix}+1 &, x\geq 0\\ -1 &, x< 0\end{matrix}\right.\tag{1.1}$sign(x)={+1−1​,x≥0,x<0​(1.1)
函数即可。经过sign函数的处理，只可能是两个值，要么1，要么-1,。如果将最后的sign函数改成该函数：
f(x)=x(1.2)$f(x)=x\tag{1.2}$f(x)=x(1.2)
那么，最后的输出值就是一个实数而不是1或-1中的一个值了，这样就达到了回归的目的。

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2. 损失函数

在实际问题中，损失函数是根据不同的问题进行设计的，因此，单单改变了激活函数还不够，还需要改变损失函数，通常情况下，回归问题使用的损失函数为：
e=12(y−yˆ)2(2.1)$e=\frac{1}{2}(y-\hat{y})^2\tag{2.1}$e=21​(y−y^​)2(2.1)
在公式(2.1)中，y$y$y表示训练样本里面的标记，也就是实际值；yˆ$\hat{y}$y^​表示模型计算的出来的预测值。e$e$e叫做单个样本的误差。至于为什么前面要乘1/2$1/2$1/2，是为了后面计算方便。

根据公式(2.1)，在n$n$n个样本的数据集中，可以将总误差E$E$E记为：
E=12∑i=1n(y(i)−yˆ(i))2(2.2)$\begin{aligned}E&=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}(y^{(i)}-\hat{y}^{(i)})^2\end{aligned}\tag{2.2}$E​=21​i=1∑n​(y(i)−y^​(i))2​(2.2)
在公式(2.2)中，y(i)$y^{(i)}$y(i)表示第i$i$i个样本的真实值，yˆ(i)$\hat{y}^{(i)}$y^​(i)表示第i$i$i个样本的预测值。且
yˆ(i)=h(x(i))=wTx(i)(2.3)$\begin{aligned}\hat{y}^{(i)}&=h(\mathrm{x}^{(i)})\\&=\mathrm{w}^T\mathrm{x^{(i)}}\end{aligned}\tag{2.3}$y^​(i)​=h(x(i))=wTx(i)​(2.3)
我们的目的，是训练模型：求取到合适的w$\mathrm{w}$w，使(2.2)取得最小值。

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3. 求参数的方法

3.1 极大似然估计

该方法之前有提到过，大致思路为让损失函数对参数求导并令其为0，求出参数的值。具体的可以参考线性回归模型 ，但该方法仅适用于激活函数为f(x)=x$f(x)=x$f(x)=x的情况。

3.2 梯度下降算法

该方法是计算机通过强大的计算能力，一步步把极值点“试”出来，大致过程如下：

还记的感知机学习的步骤吗？主要是解决两个问题：

1. 往哪走？
2. 走多远？

首先随机选择一个点x$x$x，在之后的过程中每次修改该点，经过数次迭代之后最终到达函数的最小值点。根据梯度的性质：梯度的反方向是函数值下降最快的方向，每次沿着梯度相反的方向修改x$x$x的值，最后是有可能走到极小值附近的。该公式可以表示为：
xnew=xold−η∇f(x)(3.1)$\mathrm{x}_{new}=\mathrm{x}_{old}-\eta\nabla{f(x)}\tag{3.1}$xnew​=xold​−η∇f(x)(3.1)
将其应用于我们的目标函数的权值中时，则有
wnew=wold−η∇E(w)(3.2)$\begin{aligned}\mathrm{w}_{new}=&\mathrm{w}_{old}-\eta\nabla{E(\mathrm{w})}\\\tag{3.2}\end{aligned}$wnew​=​wold​−η∇E(w)​(3.2)
对∇E(w)$\nabla{E(\mathrm{w})}$∇E(w)则有：
∇E(w)=∂∂wE(w)=∂∂w12∑i=1n(y(i)−yˆ(i))2=12∂∂w∑i=1n(y(i)2−2yˆ(i)y(i)+yˆ(i)2)=12∂∂w∑i=1n(−2yˆ(i)y(i)+yˆ(i)2)=12∑i=1n[−2y(i)∂yˆ(i)∂w+∂yˆ(i)2∂w]=12∑i=1n[−2y(i)∂wTx(i)∂w+2yˆ(i)∂wTx(i)∂w]=12∑i=1n[−2y(i)x(i)+2yˆ(i)x(i)]=−∑i=1n(y(i)−yˆ(i))x(3.3)$\begin{aligned}\nabla{E(\mathrm{w})}&=\frac{\partial}{\partial\mathrm{w}}E(\mathrm{w})\\&=\frac{\partial}{\partial\mathrm{w}}\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}(y^{(i)}-\hat{y}^{(i)})^2\\&=\frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial\mathrm{w}}\sum_{i=1}^{n}(y^{(i)2}-2\hat{y}^{(i)}y^{(i)}+\hat{y}^{(i)2})\\&=\frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial\mathrm{w}}\sum_{i=1}^{n}(-2\hat{y}^{(i)}y^{(i)}+\hat{y}^{(i)2})\\&=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}[-2y^{(i)}\frac{\partial \hat{y}^{(i)}}{\partial\mathrm{w}}+\frac{\partial \hat{y}^{(i)2}}{\partial \mathrm{w}}]\\&=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}[-2y^{(i)}\frac{\partial \mathrm{w}^T\mathrm{x^{(i)}}}{\partial\mathrm{w}}+2\hat{y}^{(i)}\frac{\partial \mathrm{w}^T\mathrm{x^{(i)}}}{\partial \mathrm{w}}]\\&=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}[-2y^{(i)}\mathrm{x^{(i)}}+2\hat{y}^{(i)}\mathrm{x^{(i)}}]\\&=-\sum_{i=1}^{n}(y^{(i)}-\hat{y}^{(i)})\mathrm{x}\tag{3.3}\end{aligned}$∇E(w)​=∂w∂​E(w)=∂w∂​21​i=1∑n​(y(i)−y^​(i))2=21​∂w∂​i=1∑n​(y(i)2−2y^​(i)y(i)+y^​(i)2)=21​∂w∂​i=1∑n​(−2y^​(i)y(i)+y^​(i)2)=21​i=1∑n​[−2y(i)∂w∂y^​(i)​+∂w∂y^​(i)2​]=21​i=1∑n​[−2y(i)∂w∂wTx(i)​+2y^​(i)∂w∂wTx(i)​]=21​i=1∑n​[−2y(i)x(i)+2y^​(i)x(i)]=−i=1∑n​(y(i)−y^​(i))x​(3.3)
所以，梯度更新公式为：
wnew=wold+η∑ni=1(y(i)−yˆ(i))x(i)(3.4)$\mathrm{w}_{new}=\mathrm{w}_{old}+\eta\sum_{i=1}^{n}(y^{(i)}-\hat{y}^{(i)})\mathrm{x}^{(i)}\tag{3.4}$wnew​=wold​+ηi=1∑n​(y(i)−y^​(i))x(i)(3.4)
若有M+1个特征，（常数项也包括在内），则w,x$\mathrm{w},\mathrm{x}$w,x是M+1维列向量，所以(3.4)可以写成
⎡⎣⎢⎢⎢⎢w0w1w2...wm⎤⎦⎥⎥⎥⎥new=⎡⎣⎢⎢⎢⎢w0w1w2...wm⎤⎦⎥⎥⎥⎥old+η∑ni=1(y(i)−yˆ(i))⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢1x(i)1x(i)2...x(i)m⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥$\begin{bmatrix}w_0 \\w_1 \\w_2 \\... \\w_m \\\end{bmatrix}_{new}=\begin{bmatrix}w_0 \\w_1 \\w_2 \\... \\w_m \\\end{bmatrix}_{old}+\eta\sum_{i=1}^{n}(y^{(i)}-\hat{y}^{(i)})\begin{bmatrix}1 \\x_1^{(i)} \\x_2^{(i)} \\... \\x_m^{(i)} \\\end{bmatrix}$⎣⎢⎢⎢⎢⎡​w0​w1​w2​...wm​​⎦⎥⎥⎥⎥⎤​new​=⎣⎢⎢⎢⎢⎡​w0​w1​w2​...wm​​⎦⎥⎥⎥⎥⎤​old​+ηi=1∑n​(y(i)−y^​(i))⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡​1x1(i)​x2(i)​...xm(i)​​⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤​

4. 与分类器的比较

算法	分类	回归
模型	sign(x)={+1−1,x≥0,x<0$sign(x)=\left\{\begin{matrix}+1 &, x\geq 0\\ -1 &, x< 0\end{matrix}\right.$sign(x)={+1−1​,x≥0,x<0​	f(x)=x$f(x)=x$f(x)=x
训练规则	w←w+η(y−yˆ)x$\mathrm{w}\gets\mathrm{w}+\eta(y-\hat{y})\mathrm{x}$w←w+η(y−y^​)x	w←w+η(y−yˆ)x$\mathrm{w}\gets\mathrm{w}+\eta(y-\hat{y})\mathrm{x}$w←w+η(y−y^​)x

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5. 参考文献

• 西瓜书
• 统计学习方法
• 零基础入门深度学习