题目

题目链接：https://codeforces.com/problemset/problem/449/D
给定一个长度为 \(n\) 的序列 \(a\)，求有多少种方案从 \(\{a_i\}\) 里面选出一个非空子集使这些数按位与起来为 \(0\)。
\(n,a_i\leq 10^6\)。

思路

我们可以把选择第 \(i\) 个数看做 and 上 \(a_i\)，不选择第 \(i\) 个数看做 and 上 \(\mathrm{lim}=1048575\)。
可以看做 \(n\) 个多项式进行 FWT，其中第 \(i\) 个多项式只有 \(a_i\) 和 \(\mathrm{lim}\) 两位为 \(1\)，其余均为 \(0\)。
直接做 \(n\) 次 FWT 显然无法保证复杂度，考虑如何利用最多只有两位为 \(1\) 的性质。
因为只有两位为 \(1\)，所以 \(FWT(A_i)_j=\sum^{\mathrm{lim}}_{k=0}c(j,k)[a_i=k]+c(j,\mathrm{lim})=c(j,a_i)+c(j,\mathrm{lim})\)。
因为 and 卷积等价于 \(FWT(A)_i=\sum_{i\in j}\mathrm{val_j}\)，而 \(\mathrm{lim}\) 包含 \(1\sim lim\) 所有整数，所以

\[FWT(A_i)_j=c(j,a_i)+c(j,\mathrm{lim})=1+c(j,a_i) \]

我们只需要考虑第 \(j\) 项被多少 \(a_i\) 包含，因为只有这些 \(a_i\) 的贡献是 \(2\)，其余均为 \(1\)。然后快速幂计算即可。
那么直接上 and FWT 就好了。时间复杂度 \(O(n\log n)\)。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int N=1050010,MOD=1000000007;
const int C[2][2][2]={{{1,1},{0,1}},{{1,MOD-1},{0,1}}};
int n,lim;
ll f[N];

ll fpow(ll x,ll k)
{
	ll ans=1;
	for (;k;k>>=1,x=x*x%MOD)
		if (k&1) ans=ans*x%MOD;
	return ans;
}

void FWT(ll *f,int typ)
{
	for (int k=1;k<lim;k<<=1)
		for (int i=0;i<lim;i+=(k<<1))
			for (int j=0;j<k;j++)
			{
				ll x=f[i+j],y=f[i+j+k];
				f[i+j]=(x*C[typ][0][0]+y*C[typ][0][1])%MOD;
				f[i+j+k]=(x*C[typ][1][0]+y*C[typ][1][1])%MOD;
			}
}

int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for (int i=1,x;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d",&x);
		f[x]++;
	}
	lim=1048576;
	FWT(f,0);
	for (int i=0;i<lim;i++)
		f[i]=fpow(2,f[i]);
	FWT(f,1);
	printf("%lld",(f[0]%MOD+MOD)%MOD);
	return 0;
}