傅里叶变换三部曲(二)·傅里叶变换的定义

Part1:傅里叶级数的复数形式

设\(f(x)\)是周期为\(l\)的周期函数,若

\[ f(x)\sim \frac{a_0}2+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos\frac{n\pi x}l+b_n\sin \frac{n\pi x}l),\\ a_n=\frac1l\int_{-l}^lf(x)\cos \frac{n\pi x}l\mathrm dx,(n=0,1,2,\dots)\\ b_n=\frac1l\int_{-l}^lf(x)\sin \frac{n\pi x}l\mathrm dx.(n=1,2,\dots) \]

记\(\omega=\frac{\pi}l\),引进复数形式:

\[ \cos n\omega x=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm in\omega x}+\mathrm{e}^{-\mathrm in\omega x}}2,\sin n\omega x=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm in\omega x}-\mathrm{e}^{-\mathrm in\omega x}}{2\mathrm i} \]

级数化为

\[ \begin{align} f(x)&\sim \frac{a_0}2+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\frac{\mathrm{e}^{\mathrm in\omega x}+\mathrm{e}^{-\mathrm in\omega x}}2+b_n\frac{\mathrm{e}^{\mathrm in\omega x}-\mathrm{e}^{-\mathrm in\omega x}}{2\mathrm i})\\ &=\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{a_n-\mathrm ib_n}2\mathrm{e}^{\mathrm in\omega x}+\frac{a_n+\mathrm ib_n}2\mathrm{e}^{-\mathrm in\omega x}) \end{align} \]

令\(c_0=\frac{a_0}2,c_n=\frac{a_n-\mathrm ib_n}2,d_n=\frac{a_n+\mathrm ib_n}2\),则

\[ \begin{align} c_0&=\frac1{2l}\int_{-l}^lf(x)\mathrm dx,\\ c_n&=\frac1{2l}\int_{-l}^lf(x)\left(\cos n\omega x-\mathrm i\sin n\omega x\right)\mathrm dx=\frac1{2l}\int_{-l}^lf(x)\mathrm{e}^{-\mathrm in\omega x}\mathrm dx,\\ d_n&=\frac1{2l}\int_{-l}^lf(x)\left(\cos n\omega x+\mathrm i\sin n\omega x\right)\mathrm dx=\frac1{2l}\int_{-l}^lf(x)\mathrm{e}^{\mathrm in\omega x}\mathrm dx\\ &\triangleq c_{-n}=\bar{c_n},(n=1,2,\dots) \end{align} \]

合并为

\[ c_n=\frac{1}{2l}=\int_{-l}^lf(x)\mathrm{e}^{-\mathrm in\omega x}\mathrm dx,(n\in \Z) \]

级数化为

\[ \sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_n\mathrm{e}^{-\mathrm in\omega x}=\frac{1}{2l}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\left[\int_{-l}^lf(x)\mathrm{e}^{-\mathrm in\omega x}\mathrm dx\right]\mathrm{e}^{\mathrm in\omega x} \]

我们称\(c_n\)为\(f(x)\)的离散频谱(discrete spectrum),\(|c_n|\)为\(f(x)\)的离散振幅频谱(discrete amplitude spectrum),\(\arg c_n\)为\(f(x)\)的离散相位频谱(discrete phase spectrum).

对任何一个非周期函数\(f(t)\)都可以看成是由某个由某个周期为\(l\)的函数\(f(x)\)当\(l\to\infty\)时得来的.

Part2:傅里叶积分和傅里叶变换

傅里叶积分公式

设\(f_T(t)\)是周期为\(T\)的周期函数,在\([-\frac T2,\frac T2]\)上满足狄利克雷条件,则

\[ f_T(t)=\frac1T\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left[\int_{-\frac T2}^{\frac T2}f_T(t)\mathrm{e}^{-\mathrm jn\omega t}\mathrm dt\right]\mathrm{e}^{\mathrm{j}n\omega t},\omega=\frac{2\pi}T \]

(上式中\(\mathrm j\)是虚数单位,在傅里叶分析中我们不用\(\mathrm i\)而通常记作\(\mathrm j\))由\(\lim\limits_{T\to\infty}f_T(t)=f(t)\)知,

\[ f(t)=\lim_{T\to\infty}\frac1T\sum_{n=-\infty}^{\infty}[\int_{-\frac T2}^{\frac T2}f_T(t)\mathrm{e}^{-\mathrm jn\omega t}\mathrm dt]\mathrm{e}^{\mathrm{j}n\omega t} \]

记\(\Delta \omega=\frac{2\pi}T\),则\(\Delta\omega\to 0\Leftrightarrow T\to\infty\),则

\[ \begin{align} f(t)&=\lim_{T\to\infty}\frac1T\sum_{n=-\infty}^{\infty}[\int_{-\frac T2}^{\frac T2}f_T(t)\mathrm{e}^{-\mathrm jn\omega t}\mathrm dt]\mathrm{e}^{\mathrm{j}n\omega t}\\ &=\lim_{\Delta \omega\to 0}\frac1{2\pi}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\left[\int_{\frac T2}^{\frac T2}f_T(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}n\omega t}\mathrm dt\right]\mathrm{e}^{\mathrm jn\omega t}\Delta\omega \end{align} \]

令\(F_T(n\omega)=\int_{-\frac T2}^{\frac T2}f_T(t)\mathrm{e}^{-\mathrm jn\omega t}\mathrm dt\),则

\[ f(t)=\lim_{\Delta\omega\to 0}\frac1{2\pi}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}F_T(n\omega)\mathrm{e}^{\mathrm jn\omega t}\Delta\omega,\\ F_T(t)\to \int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\mathrm{e}^{-\mathrm j\omega t}\mathrm dt\triangleq F(\omega)(T\to\infty), \]

由定积分定义\(f(t)=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(\omega)\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}\mathrm d\omega\),即

\[ \boxed{f(t)=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\left[\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\mathrm{e}^{-\mathrm j\omega t}\mathrm dt\right]\mathrm{e}^{\mathrm j\omega t}\mathrm d\omega} \]

上述公式称为傅里叶积分公式.

傅里叶积分存在定理

若\(f(t)\)在任何有限区间上满足狄利克雷条件,且在\(\R\)上绝对可积,则

\[ \frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\left[\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\mathrm{e}^{-\mathrm j\omega t}\mathrm dt\right]\mathrm{e}^{\mathrm j\omega t}\mathrm d\omega= \begin{cases} f(t),t\text{为连续点},\\ \frac{f(t^-)+f(t^+)}2,t\text{为间断点}. \end{cases} \]

傅里叶变换

设\(f(t)\)满足傅里叶积分存在定理,定义

\[ F(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\mathrm{e}^{-\mathrm j\omega t}\mathrm dt \]

为\(f(t)\)的傅里叶变换(Fourier Transform)(实际上是一个实自变量的复值函数),记作

\[ F(\omega)=\mathcal{F}\left[f(t)\right] \]

类似地,定义

\[ f(t)=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(\omega)\mathrm{e}^{-\mathrm j\omega t}\mathrm d\omega \]

为\(F(\omega)\)的傅里叶逆变换(Inverse Fourier Transform),记作

\[ f(t)=\mathcal{F}^{-1}\left[F(\omega)\right] \]

在一定条件下,有

\[ \mathcal{F}\left[f(t)\right]=F(\omega)\Rightarrow\mathcal{F}^{-1}\left[F(\omega)\right]=f(t);\\ \mathcal{F}^{-1}\left[F(\omega)\right]=f(t)\Rightarrow\mathcal{F}\left[f(t)\right]=F(\omega). \]

\(f(t)\)与\(F(\omega)\)在傅氏变换意义下是一个一一对应,称\(f(t)\)与\(F(\omega)\)构成一个傅氏变换对,记作

\[ f(t)\overset{\underset{\mathcal{F}}{}}{\leftrightarrow}F(\omega) \]

在不引起混淆的情况下,简记为\(f(t)\leftrightarrow F(\omega)\).\(f(t)\)称为原象函数(original image function),\(F(\omega)\)称为象函数(image function).

在频谱分析中,\(F(\omega)\)又称为\(f(t)\)的频谱(密度)函数(spectrum function),\(|F(\omega)|\)称为\(f(t)\)的振幅频谱(amplitude spectrum),\(\arg F(\omega)\)称为\(f(t)\)的相位频谱(phase spectrum).

下面我们来求几个常见信号函数的傅氏变换.

例1矩形脉冲函数(rectangular pulse function)

\[ R(t)=\begin{cases} 1,|t|\le 1,\\ 0,|t|>1 \end{cases} \]

的傅氏变换及其频谱积分表达式.

傅里叶变换三部曲(二)·傅里叶变换的定义

:

\[ \begin{align} F(\omega)&=\mathcal{F}[R(t)]=\int_{-\infty}^{+\infty}R(t)\mathrm{e}^{-\mathrm j\omega t}\mathrm dt=\int_{-1}^1 R(t)\mathrm{e}^{-\mathrm j\omega t}\mathrm t\\ &=\left[\frac{\mathrm{e}^{-\mathrm j\omega t}}{-\mathrm j\omega}\right]^1_{-1}\\ &=-\frac{\mathrm{e}^{-\mathrm j\omega}-\mathrm{e}^{\mathrm j\omega}}{\mathrm j\omega}=\frac{2\sin\omega}{\omega};\\ R(t)&=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)\mathrm{e}^{\mathrm j\omega t}\mathrm d\omega=\frac1{\pi}\int_0^{+\infty}F(\omega)\cos\omega t\mathrm d\omega\\ &=\frac1{\pi}\int_0^{+\infty}\frac{2\sin\omega}\omega\cos\omega t\mathrm d\omega=\frac2{\pi}\int_0^{+\infty}\frac{\sin\omega\cos\omega t}{\omega}\mathrm d\omega\\ &=\begin{cases} 1,|t|<1,\\ \frac12,|t|=1,\\ 0,|t|>1 \end{cases} \end{align} \]

因此可知,当\(t=0\)时,有

\[ \int_0^{+\infty}\frac{\sin t}x\mathrm dt=\frac{\pi}2 \]


例2指数衰减函数(exponential decay function)

\[ E(t)=\begin{cases} 0,t<0,\\ \mathrm{e}^{-\beta t},t\ge 0 \end{cases} \]

的傅氏变换及其频谱积分表达式,其中\(\beta>0\)为常数.

傅里叶变换三部曲(二)·傅里叶变换的定义

:

\[ \begin{align} F(\omega)&=\mathcal{F}[E(t)]=\int_{-\infty}^{+\infty}E(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm dt\\ &=\int_0^{+\infty}\mathrm{e}^{-\beta t}\mathrm{e}^{-\mathrm j\omega t}\mathrm dt=\int_0^{+\infty}\mathrm{e}^{(\beta+\mathrm j\omega)t}\mathrm dt=\frac1{\beta+\mathrm j\omega}\frac{\beta-\mathrm j\omega}{\beta^2+\omega^2}\\ E(t)&=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(\omega)\mathrm{e}^{\mathrm j\omega t}\mathrm \omega=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\beta-\mathrm j\omega}{\beta^2+\omega^2}\mathrm{e}^{\mathrm j\omega t}\mathrm \omega\\ &=\frac1{\pi}\int_{0}^{+\infty}\frac{\beta\cos\omega t+\omega\sin\omega t}{\beta^2+\omega^2}\mathrm d\omega=\begin{cases} 0,t<0,\\ \frac12,t=0,\\ \mathrm{e}^{-\beta t},t>0 \end{cases} \end{align} \]


Part3:单位脉冲函数

我们记电流脉冲函数

\[ q(t)=\begin{cases} 0,t\ne 0,\\ 1,t=0, \end{cases} \]

严格地,由于\(q(t)\)在\(t=0\)出不连续,所以\(q(t)\)在\(t=0\)点是不可导的.但是,如果我们形式地计算这个导数,有

\[ q'(0)=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{q(0+\Delta t)-q(0)}{\Delta t}=\lim_{\Delta t\to 0}-\frac1{\Delta t}=\infty \]

我们引进这样一个函数,称为单位脉冲函数(unit pulse function)狄拉克(Dirac)函数,简记为\(\delta-\)函数,即

\[ \delta(t)=\begin{cases} 0,t\ne 0,\\ \infty,t=0, \end{cases} \]

一般地,给定一个函数序列

\[ \delta_{\varepsilon}(t)=\begin{cases} 0,t<0,\\ \frac1{\varepsilon},0\le t\le \varepsilon,\\ 0,t>\varepsilon \end{cases} \]

则有

\[ \delta(t)=\lim_{\varepsilon\to 0}\delta_{\varepsilon}(t)=\begin{cases} 0,t\ne 0,\\ \infty,t=0 \end{cases} \]

于是

\[ \boxed{ \int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t)\mathrm dt=\lim_{\varepsilon\to0}\int_{-\infty}^{+\infty}\delta_{\varepsilon}\mathrm dt=\lim_{\varepsilon\to0}\int_{0}^{\varepsilon}\frac1{\varepsilon}\mathrm dt=1 } \]

若设\(f(t)\)为连续函数,则\(\delta-\)函数有以下性质:

\[ \int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t)f(t)\mathrm dt=f(0);\\ \int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t-t_0)f(t)\mathrm dt=f(t_0) \]

于是我们可得:

\[ \mathcal{F}[\delta(t)]=\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t)\mathrm{e}^{-\mathrm j\omega t}\mathrm t=\left.\mathrm{e}^{-\mathrm j\omega t}\right|_{t=0}=1 \]

于是\(\delta(t)\)与常数\(1\)构成了一对傅里叶变换对.

例3: 证明:

\[ \mathrm{e}^{\mathrm j\omega_0 t}\leftrightarrow 2\pi\delta(\omega-\omega_0) \]

其中\(\omega_0\)是常数.

:

\[ \begin{align} f(t)&=\mathcal{F}^{-1}[F(\omega)]=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}2\pi\delta(\omega-\omega_0)\mathrm{e}^{\mathrm j\omega t}\mathrm d\omega\\ &=\left.\mathrm{e}^{\mathrm j\omega t}\right|_{\omega=\omega_0}=\mathrm{e}^{\mathrm j\omega_0 t} \end{align} \]


在物理学和工程技术中,有许多重要函数不满足傅氏积分定理中的绝对可积条件,即不满足条件

\[ \int_{-\infty}^{+\infty}|f(t)|\mathrm dt<\infty \]

例如常数,符号函数,单位阶跃函数以及正,余弦函数等, 然而它们的广义傅氏变换也是存在的,利用单位脉冲函数及其傅氏变换就可以求出它们的傅氏变换.所谓广义是相对于古典意义而言的,在广义意义下,同样可以说,原象函数\(f(t)\)和象函数\(F(\omega)\)构成一个傅氏变换对.

求正弦函数\(f(t)=\sin\omega_0 t\)的傅氏变换.

:

\[ \begin{align} F(\omega)&=\mathcal F[f(t)]=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}\omega t}\mathrm dt\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{\mathrm{e}^{\mathrm j\omega_0} t-\mathrm{e}^{-\mathrm j\omega_0 t}}{2\mathrm j}\mathrm{e}^{-\mathrm j\omega t}\mathrm dt\\ &=\frac1{2\mathrm j}\int_{-\infty}^{+\infty}\left(\mathrm{e}^{-\mathrm j(\omega-\omega_0)t}-\mathrm{e}^{-\mathrm j(\omega+\omega_0)t}\right)\mathrm dt\\ &=\mathrm{j}\pi\left[\delta(\omega+\omega_0)-\delta(\omega-\omega_0)\right] \end{align} \]

同样我们易得

\[ \mathcal{F}(\cos \omega_0 t)=\pi\left[\delta(\omega+\omega_0)+\delta(\omega-\omega_0)\right] \]


证明:单位阶跃函数(unit step function)

\[ u(t)=\begin{cases} 0,t<0,\\ 1,t>0 \end{cases} \]

的傅氏变换为

\[ \mathcal F[u(t)]=\frac1{\mathrm j\omega}+\pi \delta(\omega) \]

:

\[ \begin{align} \mathcal{F}^{-1}\left[\frac1{\mathrm j\omega}+\pi \delta(\omega)\right]&=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\left[\frac1{\mathrm j\omega}+\pi\delta(\omega)\right]\mathrm{e}^{\mathrm j\omega t}\mathrm d\omega\\ &=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\left[\pi\delta(\omega)\right]\mathrm{e}^{\mathrm j\omega t}\mathrm d\omega+\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\left[\frac1{\mathrm j\omega}\right]\mathrm{e}^{\mathrm j\omega t}\mathrm d\omega\\ &=\frac12+\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\left[\frac{\cos\omega t+\mathrm j\sin\omega t}{\mathrm j\omega}\right]\mathrm d\omega\\ &=\frac12+\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\left[\frac{\sin\omega t}{\omega}\right]\mathrm d\omega=\frac12+\frac1{\pi}\int_0^{+\infty}\left[\frac{\sin\omega t}{\omega}\right]\mathrm d\omega\\ \int_0^{+\infty}\frac{\sin \omega t}{\omega }\mathrm d\omega&=\begin{cases} \frac{\pi}2,t>0,\\ -\frac{\pi}2,t<0 \end{cases}\Rightarrow\\ \mathcal{F}^{-1}\left[\frac1{\mathrm j\omega}+\pi\delta(\omega)\right]&=\begin{cases} \frac12+\frac1{\pi}\left(-\frac{\pi}2\right)=0,t<0\\ \frac12,t=0,\\ \frac12+\frac1{\pi}\left(\frac{\pi}2\right)=1,t>0 \end{cases}=u(t). \end{align} \]

本文完

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