矩阵  $A^{m * n}$,向量 $x=\left[x_{1}, x_{2},\ldots x_{n}\right]^{T}$,$y=\left[y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{m}\right]$

　　公式 1 $\quad A=\left[a_{1}, a_{2}, \ldots a_{n}\right]$， $A x=\sum \limits _{i=1}^{n} a_{i} x_{i}$

　　公式 2 $\quad A=\left[a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{m}\right]^{T}$, $y A=\sum \limits _{i=m}^{n} y_{i} x_{i}$

　　也就是说矩阵乘以列向量等以向量中每个元素乘以对应列再相加, 行 向量乘以矩阵等于行向量每个元素分别乘以对应的行再相加

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 1 初等矩阵左乘, 相当于行变换

　　由公式 2 可以引申出来， $\mathrm{YA}=\mathrm{C}$ ，则  $\mathrm{C} $ 的第  $\mathrm{i}$  行元素等于  $\mathrm{Y}$  的第  $\mathrm{i}$  行元素，按照从左到右的顺序分别乘以  $\mathrm{A}$  中对应的列, 然后再相加。举个例 子:

　　　　$A=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\4 & 5 & 6 \\7 & 8 & 9\end{array}\right]$

　　如何让  $\mathrm{A}$  的第一行和第二行换下呢  ?  根据公式 2 的引申，则可以知道，让  $\mathrm{Y}$  的第一行的第一列元素为 $0$ ， 第一行第二列元素为 $1$，第三行第三列元素为 $0$ ， 则可以完成 $A$ 中第二行元素跑到第一行去， 同理可以让 $A$ 中第一行 元素跑到第二行去也就是

　　　　$\begin{array}{c}Y=\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1\end{array}\right] \\Y A=\left[\begin{array}{lll}4 & 5 & 6 \\1 & 2 & 3 \\7 & 8 & 9\end{array}\right]\end{array}$

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2 初等矩阵右乘, 相当于列变换

　　由公式 1 可以引申出来，$\mathrm{AX}=\mathrm{C}$， $\mathrm{C}$ 中的第 $ \mathrm{i}$  列的元素等于 $ \mathrm{X}$  中第  $\mathrm{i} $ 列的元素从上到下，按照顺序㑊次乘以 $ \mathrm{A}$  中的第  $\mathrm{i} $ 行，然后再加起来。同样举个例子

　　　　$A=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\4 & 5 & 6 \\7 & 8 & 9\end{array}\right]$

　　如何做到让  $\mathrm{A}$  的第一列和第二列交换  ?  根据公式 1 的引申很容易得到，只 要  $X$  的第一列为  $0,1,0$ ;  第二列为  $1,0,0 $, 第三列  $0,0,1$  即可也就是

　　　　$\begin{array}{c}X\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1\end{array}\right] \\A X=\left[\begin{array}{lll}2 & 1 & 3 \\5 & 4 & 6 \\8 & 7 & 9\end{array}\right]\end{array}$