有好多好玩的知识点
题意：在集合中选$ n$个元素(可重复选)使得乘积模$ m$为$ x$，求方案数对$ 1004535809$取模
$ n<=10^9，m<=8000且是质数，集合大小不超过m$
$ Solution:$
我们先考虑改乘积为加和之后怎么做
直接对于集合中的数构建生成函数
所要求的就是这个生成函数的$ n$次幂的所有模$ m$为$ c$的项的系数的和
用快速幂优化这个生成函数的$ n$次幂
每次乘法之后立刻把$ [m,2m)$的系数加回$[0,m)$
这样可以保证每时每刻生成函数的长度不超过$ m$
就可以直接$ NTT$优化这个过程了
时间复杂度为$ O(m log m log n)$
然后考虑乘积的情况
我们知道$ x^ax^b=x^{a+b}$
尝试把每个数改成某个底数的若干次方
由于$ m$是质数一定存在原根
原根有性质是它的$[0,phi(m))$在模$ m$意义下互不相同
这样就可以直接把每个集合中的数改成$ m$的原根的若干次方就好了
然后就是加和情况的做法
复杂度不变
注意可能要特判原集合中存在$ 0$的情况
$ my \ code$
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<vector>
#define p 1004535809
#define rt register int
#define ll long long
using namespace std;
inline ll read(){
ll x = ; char zf = ; char ch = getchar();
while (ch != '-' && !isdigit(ch)) ch = getchar();
if (ch == '-') zf = -, ch = getchar();
while (isdigit(ch)) x = x * + ch - '', ch = getchar(); return x * zf;
}
void write(ll y){if(y<)putchar('-'),y=-y;if(y>)write(y/);putchar(y%+);}
void writeln(const ll y){write(y);putchar('\n');}
int i,j,k,m,n,x,y,z,cnt,c,yg;
int a[],val[];
namespace NTT{
int ksm(int x,int y){
int ans=;
for(rt i=y;i;i>>=,x=1ll*x*x%p)if(i&)ans=1ll*x*ans%p;
return ans;
}
vector<int>R;
void NTT(int n,vector<int>&A,int fla){
A.resize(n);
for(rt i=;i<n;i++)if(i>R[i])swap(A[i],A[R[i]]);
for(rt i=;i<n;i<<=){
int w=ksm(,(p-)//i);
for(rt j=;j<n;j+=i<<){
int K=;
for(rt k=;k<i;k++,K=1ll*K*w%p){
const int x=A[j+k],y=1ll*K*A[i+j+k]%p;
A[j+k]=(x+y)%p,A[i+j+k]=(x-y)%p;
}
}
}
if(fla==-){
reverse(A.begin()+,A.end());
int invn=ksm(n,p-);
for(rt i=;i<n;i++)A[i]=1ll*A[i]*invn%p;
}
}
void mul(int del,int n,vector<int>&A){
NTT(n,A,);
for(rt i=;i<n;i++)A[i]=1ll*A[i]*A[i]%p;
NTT(n,A,-);
for(rt i=del;i<n;i++)(A[i%del]+=A[i])%=p,A[i]=;
}
void calc(int n,vector<int>&A,int y,int pl){
int lim=;
while(lim<=n*+)lim<<=;
R.resize(lim);A.resize(lim);
for(rt i=;i<lim;i++)R[i]=(R[i>>]>>)|((i&)*(lim>>));
vector<int>ans;ans.resize(lim);
ans[]=;
for(rt i=y;i;i>>=,mul(n,lim,A))if(i&){
NTT(lim,ans,);NTT(lim,A,);
for(rt j=;j<lim;j++)ans[j]=1ll*ans[j]*A[j]%p;
NTT(lim,ans,-);NTT(lim,A,-);
for(rt j=n;j<lim;j++)(ans[j%n]+=ans[j])%=p,(A[j%n]+=A[j])%=p,ans[j]=,A[j]=;
}
writeln((ans[pl]+p)%p);
}
};
vector<int>A,B;
using namespace NTT;
int main(){
n=read();m=read();c=read();k=read();
A.resize(m+);
for(rt i=;i<=m;i++){
for(rt j=,k=i;j<m-;j++,k=1ll*k*i%m)if(k==)goto GG;
yg=i;break;
GG:;
}
for(rt i=,j=;i<m-;i++,j=1ll*yg*j%m)val[j]=i;
for(rt i=;i<=k;i++){
x=read();if(x)A[val[x]]++;
}
calc(m-,A,n,val[c]);
return ;
}