题目

给你一个非负整数 x ，计算并返回 x 的 平方根 。

由于返回类型是整数，结果只保留 整数部分 ，小数部分将被 舍去 。

注意：不允许使用任何内置指数函数和算符，例如 pow(x, 0.5) 或者 x ** 0.5 。

示例1

输入：x = 4
输出：2

示例2

输入：x = 8
输出：2
解释：8 的平方根是 2.82842…, 由于返回类型是整数，小数部分将被舍去。

思路

这个题最显的思路就是二分法。找到平方值小于等于x的最大数字。二分法的解题关键在于：（1）需要考虑数字溢出问题（2）需要控制返回值是left还是right，这个后面从两个实现代码上进行分析
另外，牛顿迭代法是一个更有意思的思路。参考官方解法说明。牛顿法是二次收敛的，查找速度更快。涉及到很多的数学知识，都淡忘了，查了一下，收集资料于此：牛顿迭代法，常见的几种优化方法（梯度下降法、牛顿法、拟牛顿法、共轭梯度法等）、牛顿法是二次收敛的证明；另外还涉及到了导数公式、点斜式方程。

二分法代码

class Solution {
    public int mySqrt(int x) {
        if (x == 0 || x == 1) { // 特殊值处理
            return x;
        }

        int left = 1, right = x; // 二分法初始两端值为1和x
        // left比right小两个数值以上，保证中值既不等于left，也不等于right
        // 然后left^2 < x, right^2 > x，最后返回left
        while (left < right - 1) {
        	// 不用求和，除以2的方法，是为了避免溢出
            int mid = left + (right - left) / 2;
            long midPow = (long)mid * mid; // 用long避免溢出
            if (midPow == x) {
                return mid;
            } else if (midPow < x) {
                left = mid;
            } else {
                right = mid;
            }
        }
        return left;
    }
}

官方解法如下：
（1）用ans记录最终结果，在过程中始终记录ans^2 < x的值
（2）遍历结束条件使用l<= r，迭代进度是left=mid+1或者right=mid-1，不用考虑left^2 < x && right^2 > x

class Solution {
    public int mySqrt(int x) {
        int l = 0, r = x, ans = -1;
        
        while (l <= r) {
            int mid = l + (r - l) / 2;
            if ((long) mid * mid <= x) {
                ans = mid;
                l = mid + 1;
            } else {
                r = mid - 1;
            }
        }
        return ans;
    }
}

牛顿迭代法代码

class Solution {
    public int mySqrt(int x) {
        if (x == 0 || x == 1) {
            return x;
        }

        double xi = x;
        while (true) {
            double xj = 0.5 * (xi + x / xi);
            if (Math.abs(xj - xi) < 1e-7) { //相差非常小的时候结束迭代
                break;
            }
            xi = xj;
        }
        return (int) xi;
    }
}

总结

数学很重要…