一、题目链接
https://www.nowcoder.com/acm/contest/117/B
二、题意
给定一组序列$a_1,a_2,\cdots,a_n$，表示初始序列$b_1,b_2,\cdots,b_n$经过$k$次变换得到的序列，让你输出输出序列$b_1,b_2,\dots,b_n$。
变换的规则是：
在每一轮中，把$b_i$加到$b_{i+1}$上($1 \le i < n$)，同时对$10^9+7$取模。做$k$轮。最后得到$a_1,a_2,\cdots,a_n$。
三、思路
列出计算步骤，得到如下表格：
| $k$ | $b_1$ | $b_2$ | $b_3$ | $\cdots$ | $b_n$ |
| $1$ | $b_1$ | $b_1+b_2$ | $b_1+b_2+b_3$ | $\cdots$ | $\sum\limits_{i=1}^{n}b_i$ |
| $2$ | $b_1$ | $2*b_1+b_2$ | $3*b_1+2*b_2+b_3$ | $\cdots$ | 上一行的和 |
| $3$ | $b_1$ | $3*b_1+b_2$ | $6*b_1+3*b_2+b_3$ | $\cdots$ | 上一行的和 |
| $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ |
拿$b_i$来找规律。可以发现，它的多项式系数与$k$的关系。从大到小的系数为如下表格：
| $j=1$ | $1$ | $2$ | $3$ | $6$ | $\cdots$ | $k$ |
| $j=2$ | $1$ | $3$ | $6$ | $10$ | $\cdots$ | $\frac{(1+k)*k}{2}$ |
| $j=3$ | $1$ | $4$ | $10$ | $20$ | $\cdots$ | $\cdots$ |
| $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ |
| $j=n$ | $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ |
其中，$j$为到$i$的距离，且$j<i$。然后，把它转化成如下表格：
| $j=1$ | $C_1^1$ | $C_2^1$ | $C_3^1$ | $C_4^1$ | $\cdots$ | $C_k^1$ |
| $j=2$ | $C_2^2$ | $C_3^2$ | $C_4^2$ | $C_5^2$ | $\cdots$ | $C_{k+1}^2$ |
| $j=3$ | $C_3^3$ | $C_4^3$ | $C_5^3$ | $C_6^3$ | $\cdots$ | $C_{k+2}^3$ |
| $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ |
| $j=n$ | $C_n^n$ | $C_{n+1}^n$ | $C_{n+2}^n$ | $C_{n+3}^n$ | $\cdots$ | $C_{k+n-1}^n$ |
有了上述表格后，用lucas定理求出最后一列，时间复杂度$O(N^2*log(10^9+7))$，再$O(N^2)$复杂度求出每一项的初始值$b_i$即可。所以，总的复杂度为$O(T*N^2*log(10^9+7))$。
注意，这题卡常卡的很厉害，需要对$k$分情况处理。如果$k$较小，$k \le 1000$，直接暴力。否则，用算法。
另外，还要注意$k=0$的情况。
求$C_n^m$，用的是这个式子：$C_n^m=\frac{n!}{(n-m)!*m!}=\frac{A_n^m}{m!}=\prod\limits_{i=1}^{m}\frac{n-m+i}{i}$
四、代码
/*---------------------template head-----------------------------*/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define pb(x) push_back(x)
#define mk(x, y) make_pair(x, y)
#define pln() putchar('\n')
#define cln() (cout << '\n')
#define fst first
#define snd second
#define MOD 1000000007LL
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<LL, LL> PLL;
;
template <class T> inline void read(T &x) {
int t;
bool flag = false;
')) ;
';
+ t - ';
if(flag) x = -x;
}
template<class T> T gcd(T a, T b) {
return b ? gcd(b, a % b) : a;
}
/*---------------------template head-----------------------------*/
LL quick_mod(LL a, LL b, LL p) {
LL ans = ;
a %= p;
while(b) {
)ans = ans * a % p;
a = a * a % p;
b >>= ;
}
return ans % p;
}
LL C(LL n, LL m, LL p) {
;
LL ans = ;
; i <= m; i++) {
LL a = (n + i - m) % p;
LL b = i % p;
ans = ans * (a * quick_mod(b, p - , p) % p) % p;
}
return ans % p;
}
LL lucas(LL n, LL m, LL p) {
) ;
return C(n % p, m % p, p) * lucas(n / p, m / p, p) % p;
}
LL NN, K, a[MAXN], ans[MAXN], cc[MAXN], buf[MAXN];
int main() {
//freopen("input.txt", "r", stdin);
// freopen("output.txt", "w", stdout);
int T;
for(scanf("%d", &T); T--;) {
read(NN), read(K);
; i <= NN; ++i)read(a[i]);
)memcpy(ans + , a + , ]) * NN);
) {
ans[] = a[];
memcpy(buf + , a + , ]) * NN);
; i < K; ++i) {
; j <= NN; ++j) {
ans[j] = (buf[j] - buf[j - ] + MOD) % MOD;
ans[j] = (ans[j] + MOD) % MOD;
}
memcpy(buf + , ans + , ]) * NN);
}
}
else {
; i <= NN; ++i)cc[i] = lucas(K + i - , i, MOD) % MOD;
ans[] = a[];
; i <= NN; ++i) {
LL sum = ;
, p = i - ; p >= ; j++, p--) {
sum = (sum + cc[j] * ans[p]) % MOD;
}
ans[i] = (a[i] - sum + MOD) % MOD;
ans[i] = (ans[i] + MOD) % MOD;
}
}
; i <= NN; ++i)printf("%lld%c", ans[i], i == NN ? '\n' : ' ');
}
;
}