【模板整合计划】DP动态规划
一：【背包】
1.【01背包】
#include<algorithm>
#include<cstdio>
int T,n,i,j,v[110],w[110],f[1010];
int main(){
scanf("%d%d",&T,&n);
for(i=1;i<=n;i++)scanf("%d%d",&v[i],&w[i]);
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=T;j>=v[i];j--)
f[j]=std::max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
printf("%d",f[T]);
}
2.【完全背包】
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int T,n,ans,a[105],dp[30005];
int main(){
scanf("%d",&T);
while(T--){
memset(dp,-127,sizeof(dp));
scanf("%d",&n);dp[0]=ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=a[i];j<=25000;j++)
dp[j]=max(dp[j],dp[j-a[i]]+1);
for(int i=1;i<=n;++i)ans+=dp[a[i]]==1;
printf("%d\n",ans);
}
}
3.【多人背包】
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
int ans,T,n,i,j,k,K,a,b,t,re[45],v[210],w[210],f[5010][45];
int main(){
scanf("%d%d%d",&K,&T,&n);
memset(f,-127,sizeof(f));f[0][1]=0;
for(i=1;i<=n;i++)scanf("%d%d",&v[i],&w[i]);
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=T;j>=v[i];j--){
a=b=1,t=0;
while(t<=K)
if(f[j][a]>=f[j-v[i]][b]+w[i])re[++t]=f[j][a++];
else re[++t]=f[j-v[i]][b++]+w[i];
for(k=1;k<=K;k++)f[j][k]=re[k];
}
for(i=1;i<=K;i++)ans+=f[T][i];
printf("%d",ans);
}
4.【分组背包】
#include<algorithm>
#include<cstdio>
using namespace std;
int T,n,i,j,a[65],s,t,r1,r2,r[65][3],v[65],w[65],f[32010];
int main(){
scanf("%d%d",&T,&n);
v[0]=0xfffffff;
for(i=1;i<=n;i++){
scanf("%d%d%d",&v[i],&s,&a[i]);
if(a[i])r[a[i]][++r[a[i]][0]]=i;w[i]=v[i]*s;
}
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=T;j>=v[i]&&(!a[i]);j--){
t=j-v[i],r1=r[i][1],r2=r[i][2];
f[j]=max(f[j],f[t]+w[i]);
if(v[r1]<=t)f[j]=max(f[j],f[t-v[r1]]+w[i]+w[r1]);
if(v[r2]<=t)f[j]=max(f[j],f[t-v[r2]]+w[i]+w[r2]);
if(v[r1]+v[r2]<=t)f[j]=max(f[j],f[t-v[r1]-v[r2]]+w[i]+w[r1]+w[r2]);
}
printf("%d",f[T]);
}
5.【多重背包】
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#define Re register int
using namespace std;
const int N=103,M=4e4+3;
int n,m,x,y,z,V,ans,v[N*17],w[N*17],dp[M];
inline void in(Re &x){
Re fu=0;x=0;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9')fu|=ch=='-',ch=getchar();
while(ch>='0'&&ch<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();
x=fu?-x:x;
}
int main(){
in(m),in(V);
memset(dp,-127,sizeof(dp));
dp[0]=0;
while(m--){
in(x),in(y),in(z);Re p=1;
while(z>=p)v[++n]=y*p,w[n]=x*p,z-=p,p<<=1;
if(z)v[++n]=y*z,w[n]=x*z;
}
for(Re i=1;i<=n;++i)
for(Re j=V;j>=v[i];--j)
dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[i]]+w[i]);
for(Re i=0;i<=V;++i)ans=max(ans,dp[i]);
printf("%d\n",ans);
}
6.【混合背包】
#include<algorithm>
#include<cstdio>
using namespace std;
int x,a,b,c,d,T,n,i,j,t,f[1010],v[100010],w[100010];
int main(){
scanf("%d:%d%d:%d%d",&a,&b,&c,&d,&n);
T=c*60+d-a*60-b;
for(i=1;i<=n;i++){
scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
if(!c){
for(j=0;j+a<=T;j++)
f[j+a]=max(f[j+a],f[j]+b);
continue;
}
x=1;
while(c>=x){v[++t]=x*a,w[t]=x*b,c-=x,x<<=1;}
v[++t]=c*a,w[t]=c*b;
}
for(i=1;i<=t;i++)
for(j=T;j>=v[i];j--)
f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
printf("%d",f[T]);
}
7.【二维费用】
#include<algorithm>
#include<cstdio>
using namespace std;
int tmp,T1,T2,x,y,n,i,j,k,v1[105],v2[105],w[105],dp[105][105],ans[105][105];
int main(){
scanf("%d",&n);
for(i=1;i<=n;i++)scanf("%d%d%d",&v1[i],&v2[i],&w[i]);
scanf("%d%d",&T1,&T2);
for(i=1;i<=n;++i)
for(j=T1;j>=v1[i];--j)
for(k=T2;k>=v2[i];--k)
if(dp[j][k]<(tmp=dp[j-v1[i]][k-v2[i]]+1)){
dp[j][k]=tmp;
ans[j][k]=ans[j-v1[i]][k-v2[i]]+w[i];
}
else if(dp[j][k]==tmp)ans[j][k]=min(ans[j][k],ans[j-v1[i]][k-v2[i]]+w[i]);
printf("%d",ans[T1][T2]);
}
二：【树形DP】
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#define R register int
using namespace std;
int head[6010],a,b,t,i,j,n,f[6010][2],pan[6010];
struct QAQ{int next,to;}Q[6010];
inline void add(int x,int y){Q[++t].to=y,Q[t].next=head[x],head[x]=t;}
inline void dfs(int w){
for(R k=head[w];k;k=Q[k].next){
int to=Q[k].to;
dfs(to);
f[w][0]+=max(f[to][0],f[to][1]);
f[w][1]+=f[to][0];
}
}
int main(){
scanf("%d",&n);
for(i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&f[i][1]);
for(i=1;i<n;i++)scanf("%d%d",&a,&b),pan[a]++,add(b,a);
for(i=1;i<=n;i++)
if(!pan[i]){
dfs(i);
printf("%d\n",max(f[i][0],f[i][1]));
return 0;
}
}
- 【题解】
三：【数位DP】
\(Windy\) 数 \([SCOI2009]\) \([P2657]\)
1.【dfs】
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define R register int
using namespace std;
int a,b,l,num[12],dp[12][10];
inline int dfs(int len,int up,int ok){
R i,ed,ans=0;
if(len<1)return 1;
if(!ok&&~dp[len][up]&&up!=-7)return dp[len][up];
ed=ok?num[len]:9;
for(i=0;i<=ed;i++)
if(abs(i-up)>=2)
ans+=dfs(len-1,(!i&&up==-7)?up:i,ok&&(i==ed));
if(!ok&&up!=-7)dp[len][up]=ans;
return ans;
}
inline int sovle(int x){
l=0;
while(x)num[++l]=x%10,x/=10;
return dfs(l,-7,1);
}
int main(){
scanf("%d%d",&a,&b);
memset(dp,-1,sizeof(dp));
printf("%d",sovle(b)-sovle(a-1));
}
2.【dp】
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define R register int
using namespace std;
int i,j,k,a,b,l,ans,num[12],dp[12][10];
inline int dpp(int len){
ans=0;
for(i=1;i<len;i++)
for(j=1;j<10;j++)
ans+=dp[i][j];
for(j=1;j<num[len];j++)ans+=dp[len][j];
for(i=len-1;i>0;i--){
for(j=0;j<num[i];j++)
if(abs(num[i+1]-j)>=2)ans+=dp[i][j];
if(abs(num[i]-num[i+1])<2)break;
}
if(!i)ans++;
return ans;
}
inline int sovle(int x){
l=0;
while(x)num[++l]=x%10,x/=10;
return dpp(l);
}
inline int sakura(){
scanf("%d%d",&a,&b);
for(i=0;i<10;i++)dp[1][i]=1;
for(i=2;i<11;i++)
for(j=0;j<10;j++)
for(k=0;k<10;k++)
if(abs(j-k)>=2)
dp[i][j]+=dp[i-1][k];
printf("%d",sovle(b)-sovle(a-1));
}
int QAQWQ=sakura();
int main(){}
四：【DP 的优化】
1.【二分】
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int pan[100010],b[100010],f[100010],n,i,a,len=1,l,r,mid;
inline int in(){
int x=0,fh=1;char c=getchar();
while(c<'0'||c>'9')c=getchar();
while(c>='0'&&c<='9')x=x*10+c-'0',c=getchar();
return x*fh;
}
int main(){
n=in();
for(i=1;i<=n;i++)a=in(),pan[a]=i,f[i]=0xfffffff;
for(i=1;i<=n;i++)a=in(),b[i]=pan[a];
f[1]=b[1];
for(i=2;i<=n;i++){
l=0;r=len;
if(b[i]>f[len])f[++len]=b[i];
else{
while(l<r){
mid=(l+r)/2;
if(f[mid]<b[i])l=mid+1;
else r=mid;
}
f[l]=min(b[i],f[l]);
}
}
printf("%d",len);
}
2.【矩阵乘法】
3.【二进制优化多重背包】
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#define Re register int
using namespace std;
const int N=103,M=4e4+3,logN=17;
int m,n,x,y,z,V,ans,v[N*logN],w[N*logN],dp[M];
inline void in(Re &x){
int f=0;x=0;char c=getchar();
while(c<'0'||c>'9')f|=c=='-',c=getchar();
while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
x=f?-x:x;
}
int main(){
in(m),in(V);
for(Re i=1;i<=m;++i){
in(x),in(y),in(z);
for(Re j=1;j<=z;j<<=1)z-=j,w[++n]=x*j,v[n]=y*j;
if(z)w[++n]=x*z,v[n]=y*z;
}
for(Re i=1;i<=n;++i)
for(Re j=V;j>=v[i];--j)
dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[i]]+w[i]);
for(Re j=0;j<=V;++j)ans=max(ans,dp[j]);
printf("%d\n",ans);
}
4.【单调队列优化多重背包】
#include<cstdio>
#define Re register int
const int N=7003,M=7003;
int n,h,t,V,mp,tmp,v[N],w[N],c[N],Q[N],K[N],dp[M];
inline void in(Re &x){
Re fu=0;x=0;char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9')fu|=ch=='-',ch=getchar();
while(ch>='0'&&ch<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();
x=fu?-x:x;
}
inline int max(Re a,Re b){return a>b?a:b;}
inline int min(Re a,Re b){return a<b?a:b;}
int main(){
in(n),in(V);
for(Re i=1;i<=n;++i)in(v[i]),in(w[i]),in(c[i]);
for(Re i=1;i<=n;++i)
for(Re r=0;r<v[i];++r){
h=1,t=0,mp=(V-r)/v[i];
for(Re p=0;p<=mp;++p){
tmp=dp[p*v[i]+r]-w[i]*p;
while(h<=t&&Q[t]<=tmp)--t;
Q[++t]=tmp,K[t]=p;
while(h<=t&&p-K[h]>min(c[i],V/v[i]))++h;
dp[p*v[i]+r]=max(dp[p*v[i]+r],Q[h]+p*w[i]);
}
}
printf("%d",dp[V]);
}
5.【斜率优化】
玩具装箱 \(\text{toy}\) \(\text{[P3195]}\)
#include<cstring>
#include<cstdio>
#define LL long long
#define Re register LL
const int N=5e4+5;
LL i,j,n,L,h=1,t=0,Q[N],S[N],dp[N];
//S[n]=∑C[i]+1, dp[i]=min(dp[j]+(S[i]-(S[j]+L+1))^2)，++L
//dp[i]=S[i]^2-2*S[i]*L+dp[j]+(S[j]+L)^2-2S[i]*S[j]
//(2*S[i]) * S[j] + (dp[i]-S[i]^2+2S[i]L)=(dp[j]+(S[j]+L)^2)
// k * x + b = y
inline LL min(Re a,Re b){return a<b?a:b;}
inline LL X(Re j){return S[j];}
inline LL Y(Re j){return dp[j]+(S[j]+L)*(S[j]+L);}
inline long double slope(Re i,Re j){return (long double)(Y(j)-Y(i))/(X(j)-X(i));}//记得开long double
int main(){
scanf("%lld%lld",&n,&L);++L;
for(i=1;i<=n;S[i]+=S[i-1]+1,++i)scanf("%lld",&S[i]);
Q[++t]=0;//重中之重
for(i=1;i<=n;++i){
while(h<t&&slope(Q[h],Q[h+1])<=2*S[i])++h;//至少要有两个元素 h<t。出队判断时尽量加上等号
dp[i]=dp[j=Q[h]]+(S[i]-S[j]-L)*(S[i]-S[j]-L);
while(h<t&&slope(Q[t-1],Q[t])>=slope(Q[t-1],i))--t;//至少要有两个元素 h<t。入队判断时尽量加上等号
Q[++t]=i;
}
printf("%lld",dp[n]);
}
还有状压 \(DP\)，区间 \(DP\) ，但写法多种多样，没有什么特定的模板额。