带你读《电路基础》之二：基本定律

2021-12-17 20:45:53

第2章　

基本定律
太多的人祈祷能够克服像山一样的困难，然而他们需要的只是攀登的勇气。
——佚名
增强技能与拓展事业
ABET EC 2000标准(3.b)，“设计和完成实验的能力，以及分析和解释数据的能力”工程师既要能够设计实验、完成实验，又要能够分析数据、解释数据。绝大多数的高中生和大学生都要花费相当多的时间做实验，并且需要分析实验数据和解释实验数据。因此，学生对于此类工作已非常熟练。我的建议是，今后在做实验的过程中，要花费更多的时间分析、解释实验所得的数据。这是什么意思呢？
在观察电压电阻、电流电阻或者功率电阻曲线时，你真正看到的是什么？这样的曲线意义何在？与所学的理论是否一致？与期望的结果是否存在差别？如果是，原因何在？显然，分析和解释实验数据必将提高这方面的技能。
如果要求学生做的绝大多数(不是全部)实验很少或根本不涉及实验的设计，这种情况下，如何才能提高学生的技能呢？
实际上，在这种情况下培养学生的技能并没有想象中的那么困难。你所需要做的就是做实验并分析实验。将实验分解为最简单的组成部分，通过重新组合来尽量理解实验的设计思路，最终明白实验的设计者要教会你什么知识。虽然情况并非总是如此，但是在每个实验中，设计者都在试图教会你一些知识。

学习目标
通过本章内容的学习和练习，你将具备以下能力：
1.认识和了解电阻的电压与电流之间的关系（欧姆定律）。
2.理解电子电路的基本结构，包括节点、环路和支路的本质。
3.掌握基尔霍夫电压电流定律以及它们在分析电子电路中的重要性。
4.理解串联电阻和分压，以及并联电阻和分流。
5.掌握如何将三角形（△）电路转换成星形（Y）电路，以及如何将星形电路转换成三角形电路。

2.1　引言

第1章介绍了电路中的电流、电压和功率等基本概念，要确定这些量在给定电路中的具体数值，还需要掌握一些电路的基本定律，即欧姆定律和基尔霍夫定律，电路分析的方法和技术正是在这些基本定律的基础上建立起来的。
本章除介绍上述基本定律外，还将讨论电路分析与设计中常用的一些方法，包括电阻的串联、并联、分压、分流以及△Y和Y△转换等。

2.2　欧姆定律

材料通常都具有阻止电荷流动的特性。这种物理性质，即阻碍电流的能力，称为电阻(resistance)，用符号R表示。均匀截面积为A的任一材料的电阻取决于截面面积A及其长度l，如图2-1a所示。电阻值的数学表达式为(实验室测量)：

式中，ρ称为电阻率(resistivity)，单位为Ω·m。良导体的电阻率小，如铜、铝；而绝缘体的电阻率高，如云母、纸张。表2-1给出了某些常见的电阻率ρ，并标明了哪些材料是导体，哪些材料是绝缘体或半导体。

　电阻及其电路符号电路中对电流有抑制特性的元件称为电阻(resistor)。为了构造电路，电阻通常由合金和碳化合物制成，电阻的电路符号如图2-1b所示，图中R表示该电阻的电阻值。电阻是电路中最简单的无源元件。

德国物理学家乔·西蒙·欧姆(Georg Simon Ohm，1787—1854)因发现流过电阻的电流与电阻两端的电压之间的关系而闻名于世，该关系正是众所周知的欧姆定律(Ohm’s law)。
欧姆定律：电阻两端的电压v与流过该电阻的电流i成正比。
即：

欧姆将这个比例常数定义为电阻R(电阻是材料的一个属性，当元件的内部或外部条件改变时，例如温度发生变化，电阻值也会改变)。于是，式(2.2)可以写为：

式(2.3)为欧姆定律的数学表达式，式中R的单位是欧姆，记作Ω。
元件的电阻R表示其阻碍电流流过的能力，单位是欧姆。
由式(2.3)可得：

所以：1Ω=1V/A　　
应用式(2.3)的欧姆定律时，必须注意电流的方向和电压的极性。电流i的方向与电压v的极性必须符合关联参考方向，如图2-1b所示。当v=iR时，电流从高电位流向低电位。反之，当v=-iR时，电流从低电位流向高电位。
历史珍闻
乔·西蒙·欧姆(Georg Simon Ohm，1787—1854)，德国物理学家，于1826年通过实验确定了描述电阻的电压电流关系的基本定律——欧姆定律。欧姆的这项工作最初曾被某些反对者所否定。
欧姆出生于巴伐利亚州埃尔兰根的一个贫苦家庭，他一生致力于电学研究，发现了著名的欧姆定律。1841年，伦敦皇家学院授予他科普利勋章(Copley Medal)。1849年，慕尼黑大学授予他物理学首席教授职位。后人为了纪念他将电阻的单位命名为欧姆。

由于电阻值R可以从零变到无限大，所以考虑两种极端情况下的电阻值R就很重要。R=0的电路称为短路电路(short circuit)，如图2-2a所示。　
在短路的情况下:v=iR=0(2.5)表明电压为零，电流可以取任意值。在实际电路中，由良导体构成的导线通常为短路电路。
短路电路是电阻为零的电路。

类似地，电阻值R=∞的电路称为开路电路(open circuit),如图2-2b所示。对于开路电路而言：i=limR→∞vR=0(2.6)表明虽然两端的电压可以是任意值，但其电流为零。
开路电路是电阻值趋于无穷大的电路。
电阻既可以是固定的，也可以是可变的。大多数电阻为固定的，其阻值为常数。两种常见的定常电阻(线绕电阻与复合电阻)如图2-3所示。当需要较大阻值时，可以采用复合电阻。固定电阻的电路符号如图2-1b所示。可变电阻的电阻值是可以调整的，其电路符号如图2-4a所示。常用的可变电阻称为电位器(potentiometer)，其电路符号如图2-4b所示。电位器是一种三端元件，其中一端为滑动抽头或滑片。移动滑动抽头时，滑动端与两个固定端之间的电阻值随之改变。与固定电阻一样，可变电阻器既可以是线绕的，也可以是复合的，如图2-5所示。虽然在电路设计中可以采用如图2-3与图2-5所示的电阻，但是，包括电阻器在内的大多数现代电路元件通常是贴片的或集成的，如图2-6所示。

应该指出的是，并非所有的电阻器都遵守欧姆定律。遵守欧姆定律的电阻元件称为线性(linear)电阻，线性电阻具有恒定的阻值，因此，其电流电压特性曲线(i-v曲线)是一条通过原点的直线，如图2-7a所示。

非线性(nonlinear)电阻不遵守欧姆定律，其阻值随着流过它的电流而变化，典型的i-v特性曲线如图2-7b所示。具有非线性电阻特性的电路元件包括照明灯泡和二极管等。虽然所有的实际电阻在某些条件下都表现为非线性特征，但本书假设所涉及的电阻元件均为线性电阻。
电路分析中另一个有用的量是电阻R的倒数，称为电导(conductance)，用符号G表示：

　　电导用来度量某个元件传导电流的强弱程度，电导的单位是姆欧(mho)，用倒过来的欧姆符号()表示。虽然工程师常使用姆欧作为电导的单位，但本书采用国际单位制中电导的单位是西门子(S):

电导是元件传导电流的能力，其单位是西门子或姆欧。
可以用欧姆或西门子来表示同一个电阻值，例如，10Ω就等于0.1S。由式(2.7)可得：

电阻所消耗的功率可以用电阻R来表示，由式(1.7)与式(2.3)可得：

同样，电阻消耗的功率也可以用电导G来表示：!

image.png

由式(2.10)与式(2.11)可得到如下两个结论：
1.电阻上消耗的功率既是电流的非线性函数，又是电压的非线性函数。
2.因为R和G都是正值，所以电阻消耗的功率总是正的。因此，电阻总是吸收来自电路的功率，这也证实了电阻是无源元件，不能产生能量。
例2-1一个电熨斗接120V电源时产生的电流为2A，求该熨斗的阻值。
解：由欧姆定律可得：R=vi=1202=60（Ω）
练习2-1　烤面包机的基本部件是一种将电能转换为热能的电阻元件，试求阻值为15Ω的烤面包机接110V电源时产生的电流。答案：7.333A
例2-2电路如图2-8所示，试计算电流i、电导G和功率p。

　
图解：因为电阻两端接在电压源上，所以电阻两端的电压等于电压源的电压(30V)。因此，电流为：i=vR=305×103=6（mA）电导为：G=1R=15×103=0.2（mS）利用式(1.7)、式(2.10)或式(2.11)可以得到计算功率的几种不同方法：p=vi=30×6×10-3=180(mW)或p=i2R=(6×10-3)2×5×103=180(mW)或p=v2G=302×0.2×10-3=180(mW)
练习2-2　电路如图2-9所示，试计算电压v、电导G和功率p。

答案：30V，100μS，90mW
例2-3电压为20sinπtV的电压源连接到一个5kΩ电阻上，试求流经该电阻的电流及其消耗的功率。
解：i=vR=20sinπt5×103=4sinπt(mA)所以:p=vi=80sin2πt(mW)
练习2-3　某电阻连接在电压源v=15costV两端，吸收的瞬时功率为30cos2tmW。求i与R。答案：2costmA，7.5kΩ

2.3　节点、支路与回路

由于电路中各元件可以用不同的方式相互连接，所以有必要理解关于网络拓扑结构的一些基本概念。为了区分电路与网络，可以将网络看成是若干元件或器件的相互连接，而电路则是指具有一条或者多条闭合路径的网络。在讨论网络拓扑结构问题时，习惯采用的术语通常是网络，而不是电路。即使网络和电路指的是同一事物，本书也采用习惯方式来叙述。在网络拓扑结构中，将研究与网络中元件位置以及网络的几何结构有关的一些属性，包括支路、节点和回路等。　

支路表示网络中的单个元件，如电压源、电阻等。
换言之，一条支路表示任意一个二端元件。图2-10所示的电路中包含5条支路，即10V电压源、2A电流源以及三个电阻。
节点是指两条或多条支路的连接点。
电路中的节点通常用圆点来表示。如果用一根导线来连接两个节点，则这两个节点合并为一个节点，如图2-10所示电路中包括a、b、c三个节点，图中构成节点b的三个点由理想导线连接在一起，从而成为一个点。同理，节点c是由四个点合并而成的。可以将仅包含三个节点的图2-10所示电路改画为图2-11所示电路，显然图2-10与2-11中的两个电路是等效的。然而，为了清楚起见，图2-10将节点b和节点c通过理想导体分散连接起来。　

回路是指电路中的任一闭合路径。
在电路中从一个节点出发，无重复地经过一组节点，之后再回到起始节点，所构成的一条闭合路径就称为回路。如果一个回路至少包含一条不属于其他任何独立回路的支路，则称该回路为独立(independent)回路。由独立回路可以得到独立的方程组。
对于一组回路而言，如果其中一个回路不包含属于其他任何独立回路的支路，也可能构成一组独立回路。在图2-11中，第一个独立回路是包括2Ω电阻支路的封闭路径abca，第二个独立回路是包含3Ω电阻和电流源的闭合路径，第三个独立回路是由2Ω电阻和3Ω电阻并联组成的闭合路径。这样就构成了一组独立回路。
包括b条支路、n个节点和l个独立回路的网络满足如下关于网络拓扑结构的基本定理：

如下两个定义表明，电路拓扑结构对于研究电路中的电压和电流至关重要。
如果两个或多个元件共享唯一一个节点，并传递同一电流，则称这种连接方式为串联。
如果两个或多个元件连接到相同的两个节点上，并且它们的两端是同一电压，则称这种连接方式为并联。
当不同元件相互级联或者首尾顺序连接时，这些元件就是串联。例如，如果两个元件共享同一个节点，且没有其他元件连接到该节点上，则称这两个元件是串联的。并联的元件连接到同一对端点上。元件在电路中的连接方式也可以既非串联，又非并联。在图2-10所示的电路中，电压源和5Ω的电阻是串联的，因为流过它们的电流是同一电流；2Ω电阻、3Ω电阻和电流源是并联的，因为它们都连接到相同的两个节点b和c上，从而具有相同的端电压；而5Ω电阻和2Ω电阻之间的连接关系既非串联也非并联。
例2-4确定图2-12所示电路中的支路数和节点数，并指出哪些元件是串联，哪些元件是并联。
解：由于电路中包括四个元件，所以该电路有四条支路：10V电压源支路、5Ω电阻支路、6Ω电阻支路和2A电流源支路。电路中包含三个节点，如图2-13所示。5Ω电阻与10V电压源串联，因为流过它们的电流相同，而6Ω电阻与2A电流源并联，因为它们均与节点2和节点3相连。

练习2-4　图2-14所示电路中有多少条支路，多少个节点？确定串联和并联的元件。
答案：如图2-15所示，包括5条支路和3个节点、1Ω电阻和2Ω电阻是并联的，4Ω电阻与10V电压源也是并联的

2.4　基尔霍夫定律

分析电路时，只有欧姆定律还不够。将欧姆定律与基尔霍夫定律结合起来，就构成了分析各类电路的一组强有力的工具。基尔霍夫定律最初是由德国物理学家基尔霍夫(Gustav Robert Kirchhoff,1824—1887)于1847年提出的，包括基尔霍夫电流定律(Kirchhoff’s Current Law，KCL)和基尔霍夫电压定律(Kirchhoff’s Voltage Law，KVL)。
基尔霍夫电流定律是基于电荷守恒定律，即一个系统中电荷的代数和是不变的。
基尔霍夫电流定律(KCL)是指流入任一节点(或任一闭合界面)的电流代数和为零。
KCL的数学表达式为：

其中，N为与该节点相连的支路数，in为流入(或流出)该节点的第n条支路的电流。根据这一定律，可以认为流入节点的电流是正值，而流出节点的电流是负值，反之亦然。
历史珍闻
基尔霍夫(Gustav Robert Kirchhoff,1824—1887)，德国物理学家，于1847年提出了电路网络中电压与电流关系的两个基本定律。基尔霍夫定律和欧姆定律共同构成了电路分析理论的基础。
基尔霍夫出生在东普鲁士柯尼斯堡的一个律师家庭。18岁时就进入柯尼斯堡大学读书，毕业后在柏林担任讲师。他与德国化学家罗伯特·本生(Robert Bunsen)合作从事光谱学方面的研究，于1860年发现了铯元素，于1861年发现了铷元素。基尔霍夫辐射定律也使他享誉世界。基尔霍夫在工程界、化学界和物理界都享有盛誉。
为了证明KCL，假定有一组电流ik(t)，k=1,2，…，流入某节点。这些电流在该节点处的代数和为：

对式(2.14)两边取积分，得到：

其中，qk(t)=∫ik(t)dt，qT(t)=∫iT(t)dt。但是电荷守恒定律要求该节点处电荷的代数和不能发生任何变化，即该节点存储的净电荷为零。因此，qT(t)=0→iT(t)=0，从而证明了KCL的正确性。
考虑图2-16中的节点，应用KCL可得：

这是因为i1、i2、i4是流入该节点的电流，而i2、i5是流出该节点的电流，移项整理后得到：!

image.png

式(2.17)可以看作KCL的另一种形式。
流入节点的电流之和等于流出该节点的电流之和。
注意，KCL也适用于任一闭合界面的情况，即KCL的一般情况，因为节点可以看作一个闭合面收缩后的一个点。在二维空间中，闭合截面就是一条闭合路径。正如图2-17所示的典型电路，流入图中闭合曲面的总电流等于流出该曲面的总电流。
KCL的一个简单应用是并联电流源的合并，合并后的等效电流即各独立电流源所提供电流的代数和。如图2-18a所示的电流源可以合并为图2-18b所示的电流源。在节点a处应用KCL可以得到合并后的等效电流：

串联电路中不可能包含两个不同的电流I1和I2，除非I1=I2，否则就会违背基尔霍夫电流定律。

提示：两个电源(或者两个电路)在端口处具有相同的伏安关系，则称它们是等效的。
基尔霍夫电压定律是基于能量守恒原理得到的。
基尔霍夫电压定律(KVL)是指任何闭合路径(或回路)上全部电压的代数和为零。
KVL的数学表达式为：

其中，M为回路中的电压数量(或回路中的支路数)，vm为第m个电压。
下面利用图2-19所示的电路来说明KVL。各电压的正负符号是环绕回路时首先遇到的该电压端点的极性。环绕回路可以从任何一条支路开始，环绕的方向可以是顺时针，也可以是逆时针。假定从电压源开始，以顺时针方向环绕回路，那么电压依次是-v1、+v2、+v3、-v4、+v5。例如，以顺时针方向环绕到支路3时，首先遇到的是V3的正极，所以得到电压V3为正，而对于支路4，首先遇到的是V4的负极，所以得到电压V4为负。因此，根据KVL得到：

整理后得到：

式(2.21)可以解释为：
电压降之和=电压升之和 (2.22)

KVL还有另一种形式。如果按逆时针方向环绕回路，则会得到+v1、-v5、+v4、-v3、-v2，除电压符号相反外，与顺时针方向环绕的情况相同。因此，式(2.20)与式(2.21)是相同的。
当电压源串联时，可以用KVL求出总电压，总电压等于各个电压源的代数和。例如，对于图2-20a所示的电压源，利用KVL可以得到如图2-20b所示的等效电压源：-Vab+V1+V2-V3=0即Vab=V1+V2-V3(2.23)为了避免违背KVL，电路中不可能并联两个不同的电压V1和V2，除非V1=V2。
提示：在回路中，KVL有两种应用方式：顺时针方向或逆时针方向。无论沿哪种方向环绕，回路中电压的代数和均为零。
例2-5如图2-21a所示的电路，试求电压v1和v2。
解：为了求出v1和v2，需应用欧姆定律和基尔霍夫电压定律。假定回路中电流i的方向如图2-21b所示。
由欧姆定律可得：v1=2i,　　v2=-3i(2.5.1)在回路中应用KVL可得：-20+v1-v2=0(2.5.2)将式(2.5.1)代入式(2.5.2)得到：-20+2i+3i=0　　或　　5i=20　　　　i=4A最后，将电流i代入式(2.5.1)得到：v1=8V,　　v2=-12V

练习2-5　求图2-22所示电路中的v1和v2。
　

答案：16V，-8V
例2-6计算图2-23a所示电路中的vo与i。
解：按照图2-23b中所示的方向应用KVL，得到：-12+4i+2vo-4+6i=0(2.6.1)对6Ω电阻应用欧姆定律可得：vo=-6i(2.6.2)将式(2.6.2)代入式(2.6.1)得到：-16+10i-12i=0　　　　i=-8A因此，vo=48V。

练习2-6　求图2-24所示电路中的vx与vo。

答案：20V，-10V
例2-7求图2-25所示电路中的电流io与电压vo。
解：在节点a处应用KCL，得到：3+0.5io=io　　　　io=6A对于4Ω电阻，根据欧姆定律可得：vo=4io=24（V）

练习2-7　求图2-26所示电路中的io与vo。

答案：20V，10A
例2-8求图2-27a所示电路中的各个电流与电压。

解：利用欧姆定律和基尔霍夫定律求解。由欧姆定律可得：v1=8i1,　　v2=3i2,　　v3=6i3(2.8.1)根据欧姆定律，各电阻的电压与电流具有上述确定的伏安关系，因此，需要求出的是(v1,v2,v3)或(i1,i2,i3)。在节点a处，利用KCL可以得到：i1-i2-i3=0(2.8.2)对图2-27b所示的回路1应用KVL得到：-30+v1+v2=0利用式(2.8.1)中的i1、i2表示上式中的v1和v2，得到：-30+8i1+3i2=0即i1=(30-3i2)8(2.8.3)对回路2应用KVL得到：
-v2+v3=0　　可推出　v3=v2(2.8.4)这说明两个并联电阻两端的电压是相等的。利用式(2.8.1)中的i2与i3来分别表示v2和v3，则式(2.8.4)变为：6i3=3i2　　可得出　i3=i22(2.8.5)将式(2.8.3)与式(2.8.5)代入式(2.8.2)，得到：30-3i28-i2-i22=0　即i2=2A。由i2的值，根据式(2.8.1)～式(2.8.5)可得：i1=3A,　　i3=1A,
v1=24V,　　v2=6V,　　v3=6V
练习2-8　求图2-28所示电路中的各个电流与电压值。

答案：v1=6V,v2=4V,v3=10V,
i1=3A,i2=500mA,i3=2.5A

2.5　串联电阻及其分压

在电路分析中经常遇到串联电阻或并联电阻的合并问题，需引起足够的重视。一次合并其中的两个电阻就可以方便地实现多个串、并联电阻的合并。据此，考虑图2-29所示的单回路电路。图中两个电阻是串联的，因为流过这两个电阻的电流是同一电流。对每个电阻应用欧姆定律，则有：

的单回路电路如果对该回路(沿顺时针方向)应用KVL，则得到：

合并式(2.24)与式(2.25)可得：

或

注意，式(2.26)又可以写成：

表明这两个电阻可以用等效电阻Req来取代，并且：!

image.png

于是，图2-29所示的电路可以用图2-30中的等效电路来取代。图2-29与图2-30中的两个电路之所以等效，是因为这两个电路在a、b两端所呈现的电压电流关系是完全相同的。诸如图2-30这样的等效电路对于简化电路的分析是非常有用的。

任意多个电阻串联后的等效电阻值等于各个电阻值之和。
对于N个串联的电阻，其等效电阻为：

提示：串联电阻的特性与阻值等于各电阻阻值之和的单个电阻的特性相同。
为了确定图2-29所示电路中各个电阻上的电压，可以将式(2.26)代入式(2.24)，得到：

可以看出，电源电压在各电阻之间的电压分配与各电阻的阻值成正比，电阻值越大，电阻上的电压就越大，这称为分压原理(principle of voltage division),而图2-29所示的电路称为分压(voltage divider)电路。一般情况下，如果电源电压为v的分压电路中包含N个电阻(R1,R2,…,RN)串联，则第n个电阻(Rn)上的电压为：

2.6　并联电阻及其分流

在如图2-31所示的电路中，两个电阻并联连接，因此它们两端具有相同的电压。由欧姆定律可得：　v=i1R1=i2R2即
i1=vR1,　　i2=vR2(2.33)
在节点a处应用KCL，得到总电流i为：i=i1+i2(2.34)
将式(2.33)代入式(2.34)可得：i=vR1+vR2=v1R1+1R2=vReq(2.35)
其中，Req为两个并联电阻的等效电阻值：1Req=1R1+1R2(2.36)
或1Req=R1+R2R1R2即Req=R1R2R1+R2(2.37)　
两个并联电阻的等效电阻值等于各电阻值的乘积除以各电阻值之和。

必须强调的是，以上结论仅适用于两个电阻的并联。如果R1=R2，则由式(2.37)可得Req=R1/2。
可以将式(2.36)扩展到N个电阻并联的一般情况，此时的等效电阻值为：

　　由此可见，等效电阻Req总是小于其中最小的电阻值。当R1=R2=…=RN=R时，有：
Req=R/N(2.39)
例如，四个100Ω的电阻并联连接时的等效电阻值为25Ω。
在处理电阻并联的问题时，采用电导通常要比采用电阻更为方便。由式(2.38)可知，N个电阻并联后的等效电导为：Geq=G1+G2+G3+…+GN(2.40)其中，Geq=1/Req，G1=1/R1,G2=1/R2,G3=1/R3,…,GN=1/RN,式(2.40)表明：
并联电阻的等效电导等于各个电导之和。
提示：并联电导的特性与电导值等于各电导之和的单个电导的特性相同。
图2-31所示的电路可以用图2-32所示的电路替代。容易看出式(2.30)与式(2.40)的相似性，即并联电阻等效电导的计算方法与串联电阻等效电阻的计算方法相同。同样，串联电阻等效电导的计算方法与并联电阻等效电阻的计算方法相同。因此，N个电阻串联(如图2-29所示)的等效电导Geq为：

　　
假定流入图2-31中节点a的总电流为i，如何求得电流i1与i2?我们知道并联等效电阻具有相同的电压v，即：

合并式(2.33)与式(2.42)，得到：

　上式说明总电流被两个电阻支路分享，且支路电流与电阻值成反比，这个规律称为分流原理(principle of current division)，图2-31所示的电路称为分流(current divider)电路。可以看出，较小电阻的支路流过较大的电流。
一种极端的情况是假定图2-31所示电路中的一个电阻为零，例如R2=0，即R2短路，如图2-33a所示。由式(2.43)可知，R2=0意味着i1=0、i2=i，即总电流i不流经R1，而只流过R2=0的短路支路，即阻值最小的支路。
因此，当一个电路被短路时，应该记住如下两点：
1.等效电阻Req＝0(参见R2=0时的式(2.37))。
2.全部电流都从短路支路中流过。
另外一个极端情况是R2=∞，即R2开路，如图2-33b所示，此时电流仍然从电阻最小的路径R1流过。对式(2.37)取极限R2→∞，得到Req=R1。
若以R1R2分别去除式(2.43)的分子和分母，则有：

因此，一般而言，如果电源电流为i的分流电路中包含N个电导(G1,G2,…,GN)并联，则流经第n个电导(Gn)的电流为：in=GnG1+G2+…+GNi(2.45)　　在电路分析过程中，通常需要合并串联和并联的电阻，从而将电阻网络简化为单个等效电阻(equivalent resistance)Req。该等效电阻即是网络端口之间的电阻，必须与原网络表现出相同的端口伏安特性。
例2-9求图2-34所示电路的Req。
解：为求出Req，需要合并串联和并联的电阻。图中6Ω电阻与3Ω电阻并联，其等效电阻为(符号“‖”表示并联)：6Ω‖3Ω=6×36+3=2（Ω）1Ω电阻与5Ω电阻是串联的，所以其等效电阻为：1Ω+5Ω=6Ω于是，图2-34所示电路被简化为图2-35a所示的电路。由图2-35a可以看出两个2Ω的电阻是串联的，所以其等效电阻为：2Ω+2Ω=4Ω此时，该4Ω电阻又与6Ω电阻并联，其等效电阻为：4Ω‖6Ω=4×64+6=2.4Ω这样，图2-35a所示的电路又可以简化为图2-35b所示电路。在图2-35b中三个电阻是串联的，因此，电路的等效电阻为：Req=4Ω+2.4Ω+8Ω=14.4(Ω)

练习2-9　合并图2-36所示电路中的电阻，求出该电路的Req。答案：11Ω

例2-10计算图2-37所示的电路的等效电阻Rab。
解：3Ω电阻与6Ω电阻的两端均分别接到节点c和节点b，所以这两个电阻是并联的，合并后的阻值为：3Ω‖6Ω=3×63+6=2(Ω)(2.10.1)同理，12Ω电阻与4Ω电阻的两端均接到节点d和节点b，所以这两个电阻也是并联的，合并为：12Ω‖4Ω=12×412+4=3（Ω）(2.10.2)而1Ω电阻与5Ω电阻是串联的，其等效电阻为：1Ω+5Ω=6Ω(2.10.3)　

经上述三次合并后，图2-37所示的电路就简化为图2-38a所示的电路。而在图2-38a中，并联连接的3Ω电阻与6Ω电阻可合并为2Ω电阻，其计算方法与式(2.10.1)相同。该2Ω电阻又与1Ω电阻串联，从而可以合并为1Ω+2Ω=3Ω的电阻。于是，图2-38a所示的电路简化为图2-38b所示的电路，此电路中相互并联的2Ω电阻与3Ω电阻可以合并为：2Ω‖3Ω=2×32+3=1.2（Ω）该1.2Ω电阻又与10Ω电阻串联，从而得到等效电阻为：Rab=10+1.2=11.2（Ω）

练习2-10　试求如图2-39所示电路的Rab。

答案：19Ω
例2-11试求图2-40a所示电路的等效电导Geq。
解：8S电阻与12S电阻在电路中是并联的，所以二者的等效电导为：8S+12S=20S该20S电阻又与5S电阻串联，如图2-40b所示，于是合并后的电导为：20×520+5=4（S）该4S电阻又与6S电阻并联，因此：Geq=6+4=10（S）　　注意，图2-40a所示的电路与图2-40c所示的电路是相同的，只是图2-40a中的电阻单位采用西门子，而图2-40c中的电阻单位为欧姆。要证明这两个电路是相同的，需求出图2-40c所示电路的等效电阻。Req=1615+18112=1615+120=1614=16×1416+14=110(Ω)
Geq=1Req=10(S)

与上述方法求得的Geq一样。
练习2-11　计算如图2-41所示电路的Geq。

答案：8S
例2-12求如图2-42a所示电路的io和vo，并计算3Ω电阻所消耗的功率。

解：6Ω电阻与3Ω电阻并联，合并后的电阻为：6Ω‖3Ω=6×36+3=2（Ω）简化电路如图2-42b所示。注意，vo不会受到电阻合并的影响，因为这两个电阻是并联的，因此具有相同的端电压。根据图2-42b，可以采用两种方法求得vo。
一种方法是采用欧姆定律，得到：i=124+2=2（A）所以，vo=2i=2×2=4V。另一种方式是采用电压分压原理，由于图2-42b中的12V电压被4Ω电阻和2Ω电阻分压，所以:vo=22+4×12=4(V)　　类似地，也可以采用两种方法得到io。一种方法是在已经求得vo后，对图2-42a中的3Ω电阻支路应用欧姆定律，可得：vo=3io=4(V)　　推出　io=43（A）另一种方法是在已经求得i后，对图2-42a所示电路应用分流原理，得到：io=66+3i=23×2=43(A)　　3Ω电阻所消耗的功率为：po=voio=4×43=5.333(W)
练习2-12　求图2-43所示电路中的v1与v2，并计算12Ω电阻和40Ω电阻所消耗的功率。　

答案：v1=10V,i1=833.3mA,p1=8.333W,
v2=20V,i2=500mA,p2=10W
例2-13在如图2-44a所示的电路中，求：(a)电压vo；(b)电流源提供的功率；(c)每个电阻消耗的功率。
解：(a)6kΩ电阻与12kΩ电阻串联，合并后的电阻为6+12=18kΩ，于是图2-44a所示电路可以简化为图2-44b所示电路。采用分流原理可以求出i1与i2。

i1=180009000+18000×30mA=20mA
i2=90009000+18000×30mA=10mA注意，9kΩ电阻与18kΩ电阻两端的电压是相同的，所以，vo=9000i1=18000i2=180V。
(b)电流源提供的功率为：po=voio=180×30mW=5.4W　　(c)12kΩ电阻所消耗的功率为：p=iv=i2(i2R)=i22R=(10×10-3)2×12000=1.2(W)6kΩ电阻所消耗的功率为：p=i22R=(10×10-3)2×6000=0.6(W)9kΩ电阻所消耗的功率为：p=v2oR=18029000=3.6(W)　
或p=voi1=180×20mW=3.6W注意，电源提供的功率(5.4W)等于电路元件吸收(消耗)的功率(1.2+0.6+3.6=5.4W)，这是检查计算结果正确与否的一种方法。
练习2-13　在图2-45所示的电路中，试求:(a)v1与v2；(b)3kΩ与20kΩ电阻消耗的功率；(c)电流源提供的功率。

答案：(1)135V,180V;(b)2.025W,540mW; (c)5.4W

2.7　Y-△变换

在电路分析中经常会遇到电阻既非并联又非串联的情况。如图2-46所示的桥式电路，电阻R1～R6既非串联又非并联，应该如何合并？可以利用三端等效网络来化简此类电路。三端等效网络包括如图2-47所示的Y形网络和T形网络，或者如图2-48所示的△形网络和Π形网络。这些电路可独立存在，也可作为大型电路的一部分，用于三相电路、滤波器以及匹配电路等电路网络中。本节主要介绍在电路中如何辨认这类三端网络，以及如何在电路分析中应用Y△变换等问题。

2.7.1　△-Y变换

假设将包含△结构的电路转换为Y结构进行处理更为方便。将一个Y电路叠加在一个△电路上，并求出Y电路中的等效电阻。为了求出Y电路中的等效电阻，要对两个电路进行比较，并确保△(Π)电路中的每一对节点之间的电阻值等于Y(T)电路中对应的每对节点之间的电阻值。

以图2-47和图2-48中的节点1和节点2为例，有：

式(2.47a)减去式(2.47c)可得：

无需死记，将△电路转换为Y电路时，可增加一个节点n，如图2-49所示，并按照如下变换规则进行转换。

Y电路各电阻值等于△电路中相邻两条支路电阻的乘积除以△电路中三个电阻之和。

根据上述变换规则即可由图2-49得到式(2.49)～式(2.51)。

2.7.2　Y-△变换

为了求出将Y电路转换为等效△电路的转换公式，首先由式(2.49)～式(2.51)可以得到：

　由式(2.53)～式(2.55)以及图2-49可以得出如下Y-△变换规则。

△电路中各电阻值等于Y电路中所有电阻两两相乘之和除以相对应的Y电路支路电阻。
如果满足以下条件，则称Y电路与△电路是平衡的:R1=R2=R3=RY,
Ra=Rb=Rc=R△(2.56)在上述条件下，变换公式变为：

　RY为什么小于R△呢？这是因为Y形联结有点像电阻的“串联”连接，而△形联结则像“并联”连接。
注意，在进行变换时，并没有对电路元件做任何增减，只是利用等效的三端网络替代原有的三端网络，从而得到一个由电阻串联或并联构成的电路，以便于计算Req。
例2-14将图2-50a所示的△电路变换为等效的Y电路。

解：由式(2.49)～式(2.51)，可得：R1=RbRcRa+Rb+Rc=10×2515+10+25=25050=5（Ω）
R2=RcRaRa+Rb+Rc=25×1550=7.5（Ω）
R3=RaRbRa+Rb+Rc=15×1050=3（Ω）
等效的Y电路如图2-50b所示。
练习2-14　将图2-51所示的Y电路变换为△电路。

答案：Ra=140Ω,Rb=70Ω,Rc=35Ω
例2-15求图2-52所示电路的等效电阻Rab，并计算电流i。

解：1.明确问题。本例所要解决的问题已经很明确，但要注意，完成这一步通常会花费相当的时间。
2.列出问题的全部已知条件。如果去掉该电路中的电压源，显然会得到一个纯电阻电路。由于该电路既包括△电路又包括Y电路，因此电路元件的合并会变得更为复杂。一种方法是采用Y△变换来求解这个问题，首先要明确Y电路(该电路中包括两个Y电路，分别位于节点n和节点c)和△电路(该电路中包括三个△电路：can、abn和cnb)的位置。
3.确定备选方案。可以采用不同的方法求解本题，由于2.7节讨论的主要问题是Y△变换，所以采用该方法求解。求解等效电阻的另一个方法是在电路中插入一个放大器，并求出ab之间的电压，我们会在第4章学习这种方法。
这里首先采用Y△变换的方法来求解这个问题，之后再采用△Y变换来检验结果的正确性。
4.尝试求解。该电路中有两个Y电路和一个△电路，只要将其中一个电路进行变换就可以简化电路。如果将由5Ω、10Ω和20Ω电阻构成的Y电路进行变换，并且选择：R1=10Ω,　　R2=20Ω,　　R3=5Ω于是，由式(2.53)～式(2.55)可得：Ra=R1R2+R2R3+R3R1R1=10×20+20×5+5×1010=35010=35（Ω）
Rb=R1R2+R2R3+R3R1R2=35020=17.5（Ω）
Rc=R1R2+R2R3+R3R1R3=3505=70（Ω）　　将Y电路转换为△电路后的等效电路(暂时去掉电压源)如图2-53a所示。合并图中的三对并联电阻，得到：70‖30=70×3070+30=21（Ω）
12.5‖17.5=12.5×17.512.5+17.5=7.292（Ω）
15‖35=15×3515+35=10.5（Ω）于是得到如图2-53b所示的等效电路。因此：Rab=(7.292+10.5)‖21=17.792×2117.792+21=9.632(Ω)则：i=vsRab=1209.632=12.458(A)　　这样就成功地解答了该问题，下面必须对答案做出评价。
5.评价结果。这一步必须确定所得到的答案是否正确，并对最终的结果做出评价。
检验本题的答案相当容易，下面通过△Y变换求解本例来完成检验。下面将△电路can转换为Y电路。
设Rc=10Ω,Ra=5Ω，由此得到(用d表示Y电路的中心)：Rad=RcRnRa+Rc+Rn=10×12.55+10+12.5=4.545(Ω)
Rcd=RaRn27.5=5×12.527.5=2.273(Ω)
Rnd=RaRc27.5=5×1027.5=1.8182(Ω)　　于是得到如图2-53c所示的电路，该电路图中节点d与b之间的电阻为两串联电阻支路的并联等效，即:Rdb=(2.273+15)(1.8182+20)2.273+15+1.8182+20=376.939.09=9.642(Ω)

该电阻又与4.545Ω的电阻串联，二者串联后与30Ω的电阻并联，这样得到该电路的等效电阻为：Rab=(9.642+4.545)×309.642+4.545+30=425.644.19=9.631(Ω)于是:i=vsRab=1209.631=12.46(A)　　由此可见，采用Y△变换的两种方法会得到相同的结果，这是一个非常好的检验过程。
6.是否满意？通过确定电路的等效电阻已经求出了问题的解，并对答案进行了检验，因此所得到的答案显然是满意的，此时就可以提交结果了。
练习2-15　试求图2-54所示桥式电路中的Rab和i。

答案：60Ω，4A

习题

2.2节
1　为了帮助学生更好地理解欧姆定律，设计一个电路问题，并完成解决方案。使用至少两个电阻和一个电压源。建议同时使用两个电阻，或者每次使用一个电阻。
2　求额定值为60W、120V的灯泡的热电阻。
3　某圆形横截面的硅棒长4cm，如果该硅棒在室温下的电阻值为240Ω、试求该硅棒的截面半径。
4　(a)计算图2-55中开关掷于位置1时的电流i。(b)当开关掷于位置2时，试求电流i。