事件的独立性

在学习了条件概率之后，那就不得不提到事件独立性了。

我们先来看一个例子

例子1

记 A 1 : 第 一 颗 骰 子 掷 出 6 点 。 记 A 2 ： 第 二 颗 骰 子 掷 出 2 点 。 \large{记A_1:第一颗骰子掷出6点。}\\ \large{记A_2：第二颗骰子掷出2点。} 记A1​:第一颗骰子掷出6点。记A2​：第二颗骰子掷出2点。

这个事件一看就非常的独立是吧，我下一次投的骰子跟上一次怎么会有关系呢？因此在这2个事件独立的情况下，我们可以这样写 P ( A 2 ∣ A 1 ) = P ( A 2 ) P(A_2|A_1)=P(A_2) P(A2​∣A1​)=P(A2​)

我们再拿出我们熟悉的条件概率公式 P ( A 2 ∣ A 1 ) = P ( A 2 A 1 ) P ( A 1 ) \displaystyle P(A_2|A_1)=\frac{P(A_2A_1)}{P(A_1)} P(A2​∣A1​)=P(A1​)P(A2​A1​)​

是不是可以写成这样呢？

P ( A 2 ∣ A 1 ) = P ( A 2 ) = P ( A 2 A 1 ) P ( A 1 ) P ( A 2 ) P ( A 1 ) = P ( A 2 A 1 ) P(A_2|A_1)=P(A_2)=\displaystyle \frac{P(A_2A_1)}{P(A_1)}\\ P(A_2)P(A_1)=P(A_2A_1) P(A2​∣A1​)=P(A2​)=P(A1​)P(A2​A1​)​P(A2​)P(A1​)=P(A2​A1​)

由此得出了事件独立的定义

两个事件相互独立

当 A A A， B B B是两个事件，如果具有等式： P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) P(AB)=P(A)P(B) P(AB)=P(A)P(B)则称事件 A A A， B B B相互独立。

说明：

1. 设 P ( B ) > 0 P(B)>0 P(B)>0则 A A A与 B B B相互独立 P ( A ∣ B ) = P ( A ) P(A|B)=P(A) P(A∣B)=P(A)
2. 设 A A A， B B B相互独立。则 A A A与 B ‾ \overline{B} B， A ‾ \overline{A} A与 B B B， A ‾ \overline{A} A与 B ‾ \overline{B} B相互独立

下面咱们还要讨论一个独立和相容之间的概念。

来继续看抽牌问题来讨论

现有一副不含大、小王的扑克牌，在洗牌后随机抽取一张。

1. “这张牌是黑桃”与“这张牌是K”是否相互独立?
2. “这张牌是黑桃”与“这张牌是红桃”是否相互独立?

（1） 记 事 件 A : 这 张 牌 是 黑 桃 B : 这 张 牌 是 K 。 由 古 典 概 型 易 知 : P ( A ) = 1 4 P ( C ) = 1 13 P ( A B ) = 1 52 P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) , 所 以 A 与 B 相 互 独 立 。 记事件A:这张牌是黑桃{\quad}B:这张牌是K。\\ 由古典概型易知:\\ P(A)=\displaystyle{\frac{1}{4}}{\quad}P(C)=\displaystyle{\frac{1}{13}}{\quad}P(AB)=\displaystyle{\frac{1}{52}}\\ P(AB)= P(A)P(B),所以A与B相互独立。 记事件A:这张牌是黑桃B:这张牌是K。由古典概型易知:P(A)=41​P(C)=131​P(AB)=521​P(AB)=P(A)P(B),所以A与B相互独立。

（2） 记 事 件 A : 这 张 牌 是 黑 桃 C : 这 张 牌 是 红 桃 . 由 古 典 概 型 易 知 : P ( A ) = 1 4 P ( C ) = 1 4 P ( A C ) = 0 ∴ P ( A C ) ≠ P ( A ) P ( C ) ， 所 以 A 与 B 不 相 互 独 立 . 记事件A:这张牌是黑桃{\quad}C:这张牌是红桃.\\ 由古典概型易知:\\ P(A)=\displaystyle{\frac{1}{4}}{\quad}P(C)=\displaystyle{\frac{1}{4}}{\quad} P(AC)=0\\ \therefore P(AC){\neq}P(A)P(C)，所以A与B不相互独立. 记事件A:这张牌是黑桃C:这张牌是红桃.由古典概型易知:P(A)=41​P(C)=41​P(AC)=0∴P(AC)​=P(A)P(C)，所以A与B不相互独立.

由此可得

P ( A ) P ( C ) > 0 P(A)P(C)>0 P(A)P(C)>0时,若 A , C A,C A,C不相容,则 A , C A,C A,C非相互独立的。
P ( A ) P ( C ) > 0 P(A)P(C)>0 P(A)P(C)>0时,若 A , C A,C A,C相互独立,则 A , C A,C A,C非不相容.

但是这2个结论非常的绕啊，我是看了好久没太明白的