3.1 作业题

设 \(f\) 是复平面单位圆盘 \(|z|\lt 1\) 上的单叶解析函数， \(\Omega={f(z)|z\in D}\). \(m\) 表示测度. 证明：\(m\Omega=\int_D |f'(z)|^2 dz\).

根据连续映射的性质，\(\Omega\)​ 是连通集. 设 \(z=x+\mathrm{i}y,f(z)=u(x,y)+\mathrm{i}v(x,y)\)​. 则 \(\Omega\)​ 的面积等于 \(\iint_{(u,v)\in \Omega}dudv = \iint_{(x,y)\in D} \det J_f(x,y) dxdy\)​，其中 \(J_f\)​ 是 Jacobi 矩阵 ：

\[\begin{pmatrix}{\partial u\over \partial x} & {\partial u\over \partial y}\\ {\partial v\over \partial x} & {\partial v\over \partial y}\end{pmatrix} \]

另一方面，我们可以证明 \(|f'(z)|^2=\det J_f(x,y)\)，这是因为

\[{\partial \over \partial z}=\dfrac12({\partial \over \partial x}-\mathrm{i}{\partial \over \partial y}) \]

结合柯西黎曼方程可得一个结论

\[{\partial f\over \partial z}={\partial u\over \partial z}+\mathrm{i}{\partial v\over \partial z}=2{\partial u\over \partial z} \]

从而可以验证

\[\begin{aligned}\det J_f(x,y) &=({\partial u\over \partial x}{\partial v\over \partial y}-{\partial u\over \partial y}{\partial v\over \partial x})(x,y)\\ &=[({\partial u\over \partial x})^2+({\partial u\over \partial y})^2](x,y)\\ &=|2{\partial u\over \partial z}|^2(x,y)\\ &=|{\partial f\over \partial z}|^2(z)\\ &=|f'(z)|^2 \end{aligned} \]

就证明了该等式成立。