[笔记] 线性筛小记

2024-02-08 23:02:34

本文讲了

线性筛质数
线性筛$\varphi(n)$
线性筛$\mu(n)$
线性筛$d(n)$(因数个数)
线性筛$\sigma(n)$(约数和)

一、线性筛质数

inline void PRI(int n) {
    for(R i=2;i<=n;++i) {
        if(!v[i]) pri[++cnt]=i;
        for(R j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<=n;++j) {
            v[i*pri[j]]=true; if(i%pri[j]==0) break;
        }
    }
}

二、线性筛$\varphi(n)$

也详见欧拉线性筛和欧拉函数的求值

inline void PHI(int n) { p[1]=1;
    for(R i=2;i<=n;++i) {
        if(!v[i]) pri[++cnt]=i,p[i]=i-1;
        for(R j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<=n;++j) {
            v[i*pri[j]]=true; 
            if(i%pri[j]==0) {p[i*pri[j]]=p[i]*pri[j]; break;}
            p[i*pri[j]]=p[i]*p[pri[j]];
        }
    }
}

三、线性筛$\mu(n)$

$\mu(n)=\begin{cases} 0&有平方素因子 \\ 1&素因子个数为偶数\\ -1&素因子个数为奇数\end{cases}$

直接根据定义去筛

inline void MU(int n) { mu[1]=1;
    for(R i=2;i<=n;++i) {
        if(!v[i]) pri[++cnt]=i,mu[i]=-1;
        for(R j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<=n;++j) {
            v[i*pri[j]]=true;
            if(i%pri[j]==0) break;
            mu[i*pri[j]]=-mu[i];
        }
    } 
}

四、线性筛$d(n)$(因数个数)

首先公式：$n=\prod_{i=1}^k\space p_i^{c_i}$，那么$d(n)=\prod_{i=1}^k\space (c_i+1)$

记$d[n]$为$n$的因数个数，$c[n]$为$n$最小素因子出现次数；

inline void D(int n) { d[1]=1;
    for(R i=2;i<=n;++i) {
        if(!v[i]) pri[++cnt]=i,d[i]=2,c[i]=1;
        for(R j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<=n;++j) {
            v[i*pri[j]]=true;
            if(i%pri[j]==0) {
                c[i*pri[j]]=c[i]+1;
                d[i*pri[j]]=d[i]/(c[i]+1)*(c[i]+2);
                break;
            } d[i*pri[j]]=d[i]*2;
            c[i*pri[j]]=1;
        }
    }
}

若$i$是素数，则显然$d[i]=2,c[i]=1$
若$i$不是素数，则要分类讨论

若$i%pri[j]==0$，说明$pri[j]$是$i$的最小素因子（因为素数是从小到大枚举的），所以$c[i*pri[j]]=c[i]+1$,而$d[i]=(c[i]+1)*(k_1+1)*(k_2+1)*...$，所以此时$c[i*pri[j]]$比$c[i]$增大了$1$,所以$d[i*pri[j]]=d[i]/(c[i]+1)*(c[i]+2)$
若$i%pri[j]!=0$,说明$pri[j]$是$i*pri[j]$的最小素因子，所以$c[i*pri[j]]=1$，对于$i$来说，相当于添了一个以前没有的素因子$pri[j]$，所以$d[i*pri[j]]=d[i]*2$.

五、线性筛$\sigma(n)$(约数和)

首先公式：$n=\prod_{i=1}^k\space p_i^{c_i}$，那么$\sigma(n)=\prod_{i=1}^k 1+p_i+p_i^2+...+p_i^{c_i}=\prod_{i=1}^k\sum_{j=0}^{c_i} p_i^j$

记$s[n]$为$n$的因数和，$c[n]$为$1+p_{min}+p_{min}^2+...+p_{min}^c$,其中$p_{min}$表示的是$n$的最小素因子，$c$是最小素因子在$n$中的的出现次数。

inline void SIGMA() { s[1]=1;
    for(R i=2;i<=n;++i) {
        if(!v[i]) pri[++cnt]=i,s[i]=i+1,c[i]=i+1;
        for(R j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<=n;++j) {
            v[i*pri[j]]=true;
            if(i%pri[j]==0) {
                c[i*pri[j]]=c[i]*pri[j]+1;
                s[i*pri[j]]=s[i]/c[i]*c[i*pri[j]];
                break;
            } c[i*pri[j]]=pri[j]+1;
            s[i*pri[j]]=s[i]*(pri[j]+1);
        }
    }
}

若$i$是素数，则显然$s[i]=i+1,c[i]=i+1$
若$i$不是素数，则又要分类讨论

若$i%pri[j]==0$，说明$pri[j]$是$i$的最小素因子（因为素数是从小到大枚举的），所以原来的$\\1+p_{min}+p_{min}^2+...+p_{min}^c\\$，要变成$\\1+p_{min}+p_{min}^2+...+p_{min}^{c+1}\\$，所以在原来的基础上乘上$p$，再加个$1$就好了，所以$c[i*pri[j]]=c[i]*pri[j]+1$,而$d[i]=(c[i]+1)*(c_1+1)*(c_2+1)*...$，所以此时，$s[i*pri[j]]$也相应转化就好了。
若$i%pri[j]!=0$,说明$pri[j]$是$i*pri[j]$的最小素因子，所以$c[i*pri[j]]=pri[j]+1$，对于$i$来说，相当于添了一个以前没有的素因子$pri[j]$，所以$s[i*pri[j]]=s[i]*(pri[j]+1)$.

如果觉得我的四和五讲得不太清楚，安利一发大佬的博客

2019.06.08

码农公寓