1. 原码、反码、补码简单介绍

• 原码、反码、补码都是含有一个符号位的、对带符号数的二进制表示，对应于同一个真值。
• 原码带符号位直接读出来就是真值。
• 正数三码合一。
• 负数的反码为符号位不变（即保持为1），其余位取反（相反转换可用同样方法）；
• 负数的补码为符号位不变（即保持为1），其余位取反后，对末位再加1（相反转换可用同样方法）。

　　进一步理解：

　　原码：Sign-Magnitude。不妨以典型的8位二进制为例（未做说明的话，下同），可以将8位划分一个符号位和一个幅值区，幅值区为后7位。

　　反码：Ones' Complement。常说的通过取反操作获得反码的方式，本质上来源于1的补集。-X (X为正整数)的补码，等于1111 1111减去X的8位2进制的原码表示（注意，第一个1是符号位，可参与该处所作的相减运算。因为被减数是正整数的原码，符号位为0，用1减去这个0，结果为1，所以不必仅令后7个1减去X的原码的后7位、然后首位保持1，而可以直接全8位参与相减）。 如-3的补码可这样获得：1111 1111 - 0000 0011 = 1111 1100，这和取反操作得到的结果是一致的（取反操作的话：原码1000 0011→符号位保持1不变，其余各位取反1111 1100）

　　补码：Two's complement。此处的two's指的是2^8，-X (X为正整数)的原码，等于2^8减去X的8位2进制的原码表示，也即1 0000 0000-减去X的8位2进制的原码表示（注意2^8需用9位表示，且第一个1参与相减）。显然2^8比1111 1111大1，这恰好和平时说的取反加1相一致（取反加1的说法可帮助到快速计算；2^8-X的说法有利于理解补码运算是如何生效的 ）。

2. 补码运算是如何生效的

　　首先运算分三种：正数加正数；正数加负数；负数加负数（计算机只做加法，因为做减法的话，电子元件完成相应的物理实现需增加成本）。仅讨论加数、被加数、减数、被减数的绝对值小于等于幅值区最大值的情形，如8位2进制表示法下的127。

　　1. 正加正比较简单，略去。

　　2. 正加负：为了方便，将前文所说的8位二进制改作4位二进制（含首位的符号位），此时0111=7即为所能表示的最大正数。

　　结果为正的情况：以5-3为例，-3的补码是 1 0000 - 0011 =1101，上述运算说明了：在1101的基础上，再加3（即0011）即可满模，即满2^4=16=1 0000，从而使后4位清0。5-3相当于（-3）+5，加5过程中，加到3时已达成满模清0，为完成加5操作，需继续再加2，完成加2操作后，该加法运算便完成了，恰得到0010，即+2的补码，便在计算机中完成了5-3=2的运算。

　　结果为负的情况：以3-5为例。首先细述一遍运算过程：-5的补码是 1 0000 - 0101 =1011，（-5）+3：1011 + 0011 = 1110，1110首位为1，为负数，其绝对值所对应的原码为 1 0000 - 1110 = 0010，即绝对值为2，则1110对应于-2的补码（上述运算过程中，已先求得了结果的补码1110，在得到该补码其对应原码的过程中，使用了“ 1 0000 - 1110 = 0010”，这对应于从真值到补码的逆运算，该运算式得到的是真值的绝对值，将0010的首位的0变为1，即得到了真值-2。实际上，若采用取反加1法的话，可以更快完成原码和补码的相互转换：都是符号位不变（即保持为1），其余位取反后，对末位再加1，而取反加1法对于相互转换的有效性可以从上述运算过程中体会到）。考虑“-5的补码是 1 0000 - 0101 =1011”，显然，“1011”基础上加3后所得到的补码所对应的绝对值（因为只有负数的补码是通过上式得到的，故仅适用于1011加3后的结果小于10000情况下，不然便对应于“结果为正的情况”了），可这样得到：令“0101”减3，得到0010，即2，则结果为-2。

　　“结果为正的情况”与“结果为负的情况”如何统一理解：B-A运算，总的来说，相当于用A在模（对于8位2进制，为2^8=256）上挖个洞，然后用B去填。具体地，首先令模-A，得到了-A的补码，其符号位为1。然后开始加B，（1）如果B小于A，那么模无法填满，-A的补码加上B后，相加结果小于1 0000，即小于等于1111，符号位保持为1，仍保持为负数。但是相加运算使得模更接近于填满，运算结果所对应的真值的绝对值更接近于0，负数没那么负了；且B越大，结果越没那么负，因为1 0000-（-A的补码加上B）对应于结果的绝对值的真值，B越大，结果真值的绝对值便越小，同时考虑到结果为负数，所以说没那么负了；（2）如果B大于A，那么模将填满，-A的补码加上B后，相加结果大于1 0000，即大于1111，满模溢出，使得符号位由1变为0，从而使运算结果变为正数，此时B越大，运算结果所对应的真值作为一个正数其绝对值越大；（3）可以看到，利用补码进行运算，并令符号位参与运算，能够：满模溢出时符号位变号，使得结果从负变为正；随B的增大，运算结果的绝对值先减小再增大；这符合数学认知。

　　3. 负加负：1xxx + 1xxx的结果必然溢出，且结果是1 0xxx还是1 1xxx中的一种，前者表示无溢出，后者表示有溢出。至于计算机识别、处理溢出的细节和负加负运算的细节，没弄明白，故不讨论

3. 利用原码、反码进行运算的劣势

（此处图片，截取于参考资料1）

 

 

 

参考资料：

1. 为什么计算机采用补码而不是原码或反码？ - 醉卧沙场的回答 - 知乎 https://www.zhihu.com/question/352057791/answer/876413629