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集合及其运算
数学以其严谨而富有逻辑性闻名于世,其严谨性在于交代清楚问题，对象，概念以及关系等方方面面的事物。而现代数学最为关键的两个部分就是集合论和公理化，故集合的重要性不言而喻。
| 集合论诞生于十九世纪 创始人是格奥尔格·康托尔 德国数学家 1845.3.3-1918.1.6 |
1.集合的概念
在朴素集合论中，不能精确地定义什么是集合。我们只能给出集合的直观描述：具有某种属性并且可以彼此区别的对象总体。
集合又称为集，是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇聚成的总体，这些对象称为该集合元素。
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用a ∈ \in ∈A 表示a是A的元素，读作“a属于A”；例如： 1 ∈ N 1\in \mathbb{N} 1∈N
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用a ∉ \notin ∈/A表示a不是A的元素，读作“a不属于A”。例如： − 1 ∉ R + -1 \notin \mathbb{R^+} −1∈/R+
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人们用大写英文字母A,B,C,…表示集合
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用小写英文字母a,b,c,…表示集合中的元素；
2.集合的表示
(1) 列举法：按照任意的顺序列出集合中的全体元素，元素之间用逗号分开，然后用花括号括起来。
例如，A={a,b,c,d}，B={1,2,…}。
一般用于说明有限集合
(2) 描述法：设P(x)表示某个与x有关的条件或法则，用{
x
∣
P
(
x
)
x|P(x)
x∣P(x)}表示具有性质P 的集合。
例如，A={x|x=2n+1,n∈
N
\mathbb{N}
N}
一般用于描述无限集合
2.1 常用的数集合
N \mathbb{N} N ：自然数集合 N = {0,1,2,3,…}
Z \mathbb{Z} Z：整数集合 Z = { 0 , ± 1 , ± 2 0,\pm1,\pm 2 0,±1,±2,…} = {…,-2,-1,0,1,2,…}
Q \mathbb{Q} Q：有理数集合
R \mathbb{R} R：实数集合
C \mathbb{C} C：复数集合
2.2 集合表示的注意事项
(1) 集合中的元素是各不相同的。
(2) 集合中的元素不规定顺序。
(3) 集合的两种表示法可以互相转化，
例如， B={2,4,6,…}可用描述法表示为
B={x|x>0且x是偶数} 或 B={x|x=2(k+1), k为非负整数}。
3.子集和全集
如果集合A的任意元素都是集合B的元素，则称A是B的子集。记作A ⊆ \subseteq ⊆B
在数学讨论中，所讨论的集合都是某个固定集合的子集，则称此固定集合为全集。一般用E来表示。
3.1 真子集
4.空集
定义: 不拥有任何元素的集合称为空集合，简称为空集，记作 ∅ \varnothing ∅。
定理 空集是一切集合的子集。
推论 空集是惟一的。
5.集合的运算
(1) 并集：设A，B为二集合，则称由A和B的所有元素组成的集合为A和B的并集，记作A∪B。
描述法为：A∪B={x|x∈A或x∈B }
文氏图
(2) 交集：设A，B为二集合，则称由A和B的公共元素组成的集合为A和B的交集，记作A∩B。
描述法为：A∩B={x|x∈A且x∈B }
文氏图
(3) 差集 ；(4) 补集：
5.1 集合的并与交运算具有下列的一些性质：
1. 交换律： A∪B = B∪A，A∩B = B∩A.
2. 结合律： A∪(B∪D) = (A∪B)∪D，A∩(B∩D) = (A∩B)∩D
3. 分配律： A∩(B∪D) = (A∩B)∪(A∩D)，A∪(B∩D) = (A∪B)∩(A∪D)
6.笛卡尔积
设A，B为二集合，x∈A，y∈B，所有二元有序元素组(x,y)构成的集合，称为A与B的笛卡尔积，记作A
×
\times
× B
描述法为：A
×
\times
×B={(x,y)|x∈A,y∈B }
例：
设A={1,2,3}， B={2,3}
A
×
\times
×B={(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3)}