设\(\text{Spec}(A)\)是环\(A\)全体素理想的集合，对于每个集合\(I \subset A\)，包含\(I\)的所有素理想\(V(I) \subset \text{Spec}(A)\)满足拓扑空间闭集的性质，构成\(X\)上的扎里斯基拓扑，拓扑空间\(\text{Spec}(A)\)称为环的谱。例如
- \(\text{Spec}(\mathbb{Z}) = \{(0)\}\)
- \(\text{Spec}(\mathbb{R}) = \{(0), (p)\}\)
- \(\text{Spec}(\mathbb{C}[x]) = \{(0), (x - a)\}\)
- \(\text{Spec}(\mathbb{R}[x]) = \{(0), (x - a), (x^2 + px + q)\}\)满足\(p^2 < 4q\)
- \(\text{Spec}(\mathbb{Z}[x]) = \{(0), (p), (f(x)), (p, f(x))\}\)其中\(f(x)\)是不可约多项式
我们看以下例题：
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\(\text{Spec}(A)\)是紧豪斯多夫空间。
我们令\(a\in A\)，\(X_a = \text{Spec}(A) - V(a) = V(1-a)\)是\(\text{Spec}(A)\)上的既开又闭的集合，所有\(X_a\)构成扎里斯基拓扑的基。
我们考虑\(\text{Spec}(A) = \bigcup_a X_a = \text{Spec}(A) - \bigcap_a V(a)\)也即\(\bigcap_a V(a) = \varnothing\)。由于\(V(a) \bigcap V(1-a) = \varnothing\)，因此\(\bigcup_a X_a\)有有限子覆盖，从而\(\text{Spec}(A)\)是紧空间。
任取\(p_1 \neq p_2 \in \text{Spec}(A)\)，可以找到\(a\)满足\(p_1 \in X_a, p_2 \in X_{1-a}\)，从而\(a\not \in p_1, a \in p_2\)，也即\(\text{Spec}(A)\)是紧豪斯多夫空间。 -
\(A\)的幂零根是素理想，当且仅当\(\text{Spec}(A)\)不可约，也即每一对非空开子集都相交。
\(\text{Spec}(A)\)可约即存在\(a, b \in A - \mathfrak{N}\)满足\(V(a) \bigcup V(b) = V(ab) = \text{Spec}(A)\)，也即\(ab \in \mathfrak{N}\)。反过来，\(\text{Spec}(A)\)不可约即对任意\(a, b \in A - \mathfrak{N}\)都有\(ab \not \in \mathfrak{N}\)
而\(\mathfrak{N}\)是素理想的定义是如果\(ab \in \mathfrak{N}\)，要么\(a\in \mathfrak{N}\)，要么\(b\in \mathfrak{N}\)，这是“不可约”的逆否命题，因而等价。 -
若\(f: A \to B\)是环的整同态，则\(f^*: \text{Spec}(B)\to \text{Spec}(A)\)是闭映射。
任取\(B\)中的素理想\(b\)，由于\(f\)是整同态，因此\(f^{-1}(b)\)也是素理想。\(V(b)\)是\(\text{Spec}(B)\)的闭集，则\(f^*(V(b)) = V(f^{-1}(b))\)是闭集，所以\(f\)是闭映射。