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1.2 数学符号 Notation

上节课，你了解了一些能应用序列模型的例子。本课先从定义符号开始一步步构建序列模型。

比如说你想要建立一个序列模型，它的输入语句是这样的：“Harry Potter and Herminoe Granger invented a new spell.”，(这些人名都是出自于J.K.Rowling笔下的系列小说Harry Potter)。假如你想要建立一个能够自动识别句中人名位置的序列模型，那么这就是一个命名实体识别问题，这常用于搜索引擎，比如说索引过去24小时内所有新闻报道提及的人名，用这种方式就能够恰当地进行索引。

命名实体识别系统可以用来查找不同类型的文本中的人名、公司名、时间、地点、国家名和货币名等等。

现在给定上图这样的输入数据 x x x，假如你想要一个序列模型输出 y y y，使得输入的每个单词都对应一个输出值，同时这个 y y y 能够表明输入的单词是否是人名的一部分。

技术上来说这也许不是最好的输出形式，还有更加复杂的输出形式，它不仅能够表明输入词是否是人名的一部分，它还能够告诉你这个人名在这个句子里从哪里开始到哪里结束。比如：Harry Potter、Hermione Granger。

不过对于这个例子，有更简单的输出形式。

约定符号

上图中的输入数据 x x x 是9个单词组成的序列，所以最终我们会有9个特征集合来表示这9个单词，并按序列中的位置进行索引， x < 1 > x^{<1>} x<1>、 x < 2 > x^{<2>} x<2>、 x < 3 > x^{<3>} x<3>等等一直到 x < 9 > x^{<9>} x<9>来索引不同的位置。

• 我将用 x < t > x^{<t>} x<t>来索引这个序列的中间位置。 t t t 意味着它们是时序序列，但不论是否是时序序列，我们都将用 t t t 来索引序列中的位置。
• 输出数据 y y y 也是一样，我们还是用 y < 1 > y^{<1>} y<1>、 y < 2 > y^{<2>} y<2>、 y < 3 > y^{<3>} y<3>等等一直到 y < 9 > y^{<9>} y<9>来表示输出数据。
• 同时我们用 T x T_x Tx​ 来表示输入序列的长度，这个例子中输入是9个单词，所以 T x = 9 T_x=9 Tx​=9 。
• 我们用 T y T_y Ty​ 来表示输出序列的长度。

在这个例子里 T x = T y T_x=T_y Tx​=Ty​，上节课里你知道 T x T_x Tx​ 和 T y T_y Ty​ 可以有不同的值。

• 你应该记得我们之前用的符号，我们用 x ( i ) x^{(i)} x(i) 来表示第 i i i 个训练样本，所以为了指代第 t t t 个元素，或者说是训练样本 i i i 的序列中第 t t t 个元素用 x ( i ) < t > x^{(i)<t>} x(i)<t> 这个符号来表示。
• 如果 T x T_x Tx​ 是序列长度，那么你的训练集里不同的训练样本就会有不同的长度，所以 T x ( i ) T_x^{(i)} Tx(i)​ 就代表第 i i i 个训练样本的输入序列长度。
• y ( i ) < t > y^{(i)<t>} y(i)<t> 代表第 i i i 个训练样本中第 t t t 个元素。
• T y ( i ) T_y^{(i)} Ty(i)​ 就是第 i i i 个训练样本的输出序列的长度。

所以在这个例子中， T x ( i ) = 9 T_x^{(i)}=9 Tx(i)​=9。
如果另一个样本是由15个单词组成的句子，那么对于这个训练样本， T x ( i ) = 15 T_x^{(i)}=15 Tx(i)​=15。

我们这个例子是NLP，也就是自然语言处理，这是我们初次涉足自然语言处理，一件我们需要事先决定的事是怎样表示一个序列里单独的单词，你会怎样表示像Harry这样的单词， x < 1 > x^{<1>} x<1> 实际应该是什么？

怎样表示一个句子里单个的词。

接下来我们讨论一下怎样表示一个句子里单个的词。

想要表示一个句子里的单词，第一件事是做一张词表，有时也称为词典，意思是列一列你的表示方法中用到的单词。

如上图所示，这个词表中的第一个词是a，也就是说词典中的第一个单词是a，第二个单词是Aaron，然后更下面一些是单词and，再后面你会找到Harry，然后找到Potter，这样一直到最后，词典里最后一个单词可能是Zulu。

因此a是第一个单词，Aaron是第二个单词，在这个词典里，and出现在367这个位置上，Harry是在4075这个位置，Potter在6830，词典里的最后一个单词Zulu可能是第10,000个单词。

在这个例子中我用了10,000个单词大小的词典，这对现代自然语言处理应用来说太小了。对于商业应用来说，或者对于一般规模的商业应用来说30,000到50,000词大小的词典比较常见，但是100,000词的也不是没有，而且有些大型互联网公司会用百万词，甚至更大的词典。许多商业应用用的词典可能是30,000词，也可能是50,000词。不过我将用10,000词大小的词典做说明，因为这是一个很好用的整数。

如果你选定了10,000词的词典，构建这个词典的一个方法是遍历你的训练集，并且找到前10,000个常用词，你也可以去浏览一些网络词典，它能告诉你英语里最常用的10,000个单词，接下来你可以用one-hot表示法来表示词典里的每个单词。

举个例子，如上图，在这里 x < 1 > x^{<1>} x<1> 表示Harry这个单词，它就是一个第4075行是1，其余值都是0的向量，因为那是Harry在左边词典里的位置。

同样 x < 2 > x^{<2>} x<2> Potter是一个第6830行是1，其余位置都是0的向量。

and在词典里排第367，所以 x < 3 > x^{<3>} x<3> 就是第367行是1，其余值都是0的向量。

如果你的词典大小是10,000的话，那么这里的每个向量都是10,000维的。

再看单词a。因为a是字典第一个单词， x < 7 > x^{<7>} x<7> 对应a，那么这个向量的第一个位置为1，其余位置都是0的向量。

所以这种表示方法中， x < t > x^{<t>} x<t> 指代句子里的任意词，它就是个one-hot向量，因为它只有一个值是1，其余值都是0，所以你会有9个one-hot向量来表示这个句中的9个单词，目的是用这样的表示方式表示 X X X，用序列模型在 X X X 和目标输出 Y Y Y 之间学习建立一个映射。我会把它当作监督学习的问题，我确信会给定带有 ( x , y ) (x,y) (x,y) 标签的数据。

还剩下最后一件事，我们将在之后的课程讨论，如果你遇到了一个不在你词表中的单词，答案就是创建一个新的标记，也就是一个叫做Unknow Word的伪造单词，用作为标记，来表示不在词表中的单词，我们之后会讨论更多有关这个的内容。

总结

总结一下本节课的内容，我们描述了一套符号用来表述你的训练集里的序列数据 x x x和 y y y，在下节课我们开始讲述循环神经网络中如何构建到的映射。