昨天做了一个题,简化题意后就是求2的n次方对1e9+7的模,其中1<=n<=10100000。这个就算用快速幂加大数也会超时,查了之后才知道这类题是对费马小定理的考察。
费马小定理:假如p是质数,且gcd(a,p)=1(a,p互质),那么 a^(p-1)≡1(mod p)。
由题可知,1e9+7是个质数(许多结果很大的题都喜欢对1e9+7取模),2是整数,a与p互质显而易见,所以现在我们的目的就是想办法把2^n%(1e9+7)降幂为2^k%(1e9+7),令p=1e9+7,已知a^(p-1) = 1(mod p),且n可能很大很大,就看n里包括多少个p-1,把这些都丢掉求剩下的就好(就是求n mod (p-1),根据取模的性质,这个过程可以将n从第一个数展开过程中边取模完成,详见代码)。假设有x个p-1,则:2^n = 2^(x*(p-1)) * 2^k = 1^x * 2^k = 2^k(mod p),所以直接求2^k就好,k = n%(p-1)。
由于N过于长,就用字符串存储,之后边转化为数边取余。还有就是处理过后的N也不小,求次幂时需要用快速幂。
1 #include<cstdio> 2 #include<string> 3 #include<iostream> 4 #include<algorithm> 5 using namespace std; 6 7 typedef long long LL; 8 string n; 9 const LL mod=1000000007; 10 11 LL QuickPower(LL a,LL b){ 12 LL ans=1; 13 while(b){ 14 if(b&1){ 15 ans=(ans*a)%mod; 16 } 17 b>>=1; 18 a=(a*a)%mod; 19 } 20 return ans; 21 } 22 23 int main(){ 24 cin>>n; 25 LL k=(LL)(n[0]-'0'),mod1=mod-1; 26 for(int i=1;i<n.length();i++) 27 k=(k*10+(LL)(n[i]-'0'))%mod1; 28 printf("%lld\n",QuickPower(2,k)); 29 return 0; 30 }