\(\text{Problem}:\)[NOI Online #2 提高组] 游戏

\(\text{Solution}:\)

设 \(f_{k}\) 表示恰好非平局回合数为 \(k\) 的方案数，\(g_{k}\) 表示钦定非平局回合数为 \(k\) 的方案数，有：

\[g_{k}=h_{k}(m-k)!\\ f_{k}=\sum\limits_{i=k}^{m}(-1)^{i-k}\binom{i}{k}g_{i} \]

其中 \(h_{k}\) 表示在树上选出点对 \((u,v)\)，满足 \(u\) 是 \(v\) 的祖先且 \(u\) 的颜色和 \(v\) 不同的方案数。

设 \(f_{x,i}\) 表示 \(x\) 的子树内选出了 \(i\) 个点对。记 \(y\) 为 \(x\) 的儿子结点，首先与其暴力合并，有：

\[\sum\limits_{j=0}^{i}f_{x,j}\times f_{y,i-j}\rightarrow f_{x,i} \]

利用树上背包可以在 \(O(n^{2})\) 的时间复杂度内完成转移。

现在求解新增的答案。考虑 \(x\) 作为白点的情况。设 \(sizb_{x}\) 表示 \(x\) 子树内黑点的个数，有：

\[f_{x,i}\times (sizb_{x}-i)\rightarrow f_{x,i+1} \]

对于 \(x\) 为黑点的情况同理。

最后显然有 \(h_{k}=f_{1,k}\)，那么可以暴力计算出所有 \(f_{k}\)。总时间复杂度 \(O(n^{2})\)。

\(\text{Code}:\)

#include <bits/stdc++.h>
#pragma GCC optimize(3)
//#define int long long
#define ri register
#define mk make_pair
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define eb emplace_back
#define is insert
#define es erase
#define vi vector<int>
#define vpi vector<pair<int,int>>
using namespace std; const int N=5010, Mod=998244353;
inline int read()
{
	int s=0, w=1; ri char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9') { if(ch=='-') w=-1; ch=getchar(); }
	while(ch>='0'&&ch<='9') s=(s<<3)+(s<<1)+(ch^48), ch=getchar();
	return s*w;
}
int n,m,a[N],f[N][N],g[N],siz[N][2],fac[N+5],inv[N+5];
inline int ksc(int x,int p) { int res=1; for(;p;p>>=1, x=1ll*x*x%Mod) if(p&1) res=1ll*res*x%Mod; return res; }
inline int C(int x,int y) { if(x<y||x<0||y<0) return 0; return 1ll*fac[x]*inv[x-y]%Mod*inv[y]%Mod; }
int head[N],maxE; struct Edge { int nxt,to; }e[N<<1];
inline void Add(int u,int v) { e[++maxE].nxt=head[u]; head[u]=maxE; e[maxE].to=v; }
void DFS(int x,int fa)
{
	siz[x][a[x]]++;
	f[x][0]=1;
	for(ri int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
	{
		int v=e[i].to;
		if(v==fa) continue;
		DFS(v,x);
		for(ri int j=min(m,siz[x][0]+siz[x][1]);~j;j--)
		{
			for(ri int k=min(siz[v][0]+siz[v][1],m-j);k;k--)
			{
				f[x][j+k]=(f[x][j+k]+1ll*f[x][j]*f[v][k]%Mod)%Mod;
			}
		}
		siz[x][0]+=siz[v][0];
		siz[x][1]+=siz[v][1];
	}
	if(a[x])
	{
		for(ri int i=min(m-1,siz[x][0]-1);~i;i--) f[x][i+1]=(f[x][i+1]+1ll*f[x][i]*(siz[x][0]-i)%Mod)%Mod;
	}
	else
	{
		for(ri int i=min(m-1,siz[x][1]-1);~i;i--) f[x][i+1]=(f[x][i+1]+1ll*f[x][i]*(siz[x][1]-i)%Mod)%Mod;
	}
}
signed main()
{
	fac[0]=1;
	for(ri int i=1;i<=N;i++) fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%Mod;
	inv[N]=ksc(fac[N],Mod-2);
	for(ri int i=N;i;i--) inv[i-1]=1ll*inv[i]*i%Mod;
	n=read(), m=n/2;
	for(ri int i=1;i<=n;i++) scanf("%1d",&a[i]);
	for(ri int i=1;i<n;i++)
	{
		int u,v;
		u=read(), v=read();
		Add(u,v), Add(v,u);
	}
	DFS(1,0);
	for(ri int i=0;i<=m;i++) g[i]=1ll*f[1][i]*fac[m-i]%Mod;
	for(ri int i=0;i<=m;i++)
	{
		int ans=0;
		for(ri int j=i;j<=m;j++)
		{
			int w=1ll*C(j,i)*g[j]%Mod;
			if((j-i)&1) ans=(ans-w+Mod)%Mod;
			else ans=(ans+w)%Mod;
		}
		printf("%d\n",ans);
	}
	return 0;
}