第二节 投影几何和二维变换
2.2 The 2D projective plane
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使用向量表示线段，如\((a,b,c)^T\)表示\(ax+by+c = 0\)
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\(IR^3 - (0,0,0)^T\)中的矢量等价类的集合组成射影空间\(IP^2\)（P即Project），即，\(IR^3\)中的每个矢量对应着\(IP^2\)中的一个点，其中\((0,0,0)^T\)不与任何直线对应，被排除在外。
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当且仅当\(x^Tl = 0\)时，点\(x\)才在线\(l\)上。
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*度问题：为了指定一个点，必须提供两个值，即其x坐标和y坐标。 以类似的方式，一条线由两个参数（两个独立的比率{a：b：c}）指定，因此具有两个*度。在非齐次表示中，可以选择这两个参数作为直线的梯度和y截距。
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线段\(l\)和\(l'\)的交点\(x = l \times l'\)
如 \(x = 1 \longrightarrow-1x+1 = 0 ~~~:~~~ l = (-1,0,1)^T\)
\(y = 1 \longrightarrow -1y + 1 = 0~~~:~~~ l' = (0,-1,1)^T\)
\(x = l\times l' = \left|\begin{matrix}i & j & k\\-1 & 0 & 1\\0 & -1 & 1\end{matrix}\right| = \left(\begin{matrix}1\\1\\1\end{matrix}\right)\)
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过两个点\(x\)和\(x'\)的直线\(l = x \times x'\)
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所有的理想点都表示为\((x_1, x_2, 0)^T\)，其特定点由比率\(x_1：x_2\)指定。
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无穷远线表示为\(l_\infty = (0,0,1)^T\)，从而\((0,0,1)(x_1,x_2,0)^T = 0\)
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非齐次表示中，\((b,-a)^T\)是与直线相切且与直线法线\((a,b)^T\)正交的向量，因此表示直线的方向。
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在2D射影几何中，在射影变换下所有非退化圆锥都是等效的。
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圆锥曲线方程
非齐次：
\[ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0 \]齐次：\(x \longrightarrow x_1 / x_3, ~~~y \longrightarrow x_2 / x_3\)
\[ax_1^2 + bx_1x_2 + cx_2^2 + dx_1x_3+ex_2x_3+fx_3^2 = 0 \]矩阵形式：
\[x^TCx = 0 \]其中 \(C = \left[\begin{matrix}a & b/2 & d/2\\b/2 & c & e/2\\d/2 & e/2 & f\end{matrix}\right]\)
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\(C\)是圆锥的齐次表示，圆锥具有五个*度，可以将其视为比率{a：b：c：d：e：f}。
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5个点确定一条圆锥曲线
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在\(C\)上的点\(x\)处与\(C\)相切的直线\(l = Cx\)
2.3 Projective transformations
2D射影几何是对射影平面\(IP^2\)的属性的研究，这些属性在射影性的一组转换下是不变的。
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投影性是从\(IP^2\)到其自身的可逆映射\(h\)，使得当且仅当\(h(x_1),h(x_2),h(x_3)\)相同时，三个点\(x_1,x_2,x_3\)位于同一条线上。
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映射\(h\)：当且仅当存在一个非奇异的3×3矩阵\(H\)，对于由向量\(x\)表示的\(IP^2\)中的任何点，\(h(x)= Hx\)都是正确的时候时，\(IP^2→IP^2\)才具有投影性。
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平面投影变换是对由非奇异3×3矩阵表示的齐次3矢量的线性变换\(x' = H x\)
该方程式中出现的矩阵\(H\)可以通过乘以任意非零比例因子而改变，而不改变投影变换。
因此\(H\)是齐次矩阵，\(H\)的9个元素中有8个独立的比率，因此，投射变换具有8个*度。 -
平面之间的映射：如果在每个平面中定义了一个坐标系，并且点用齐次坐标表示，则中心投影映射可以表示为\(x = Hx\)，其中\(H\)是非奇数3×3矩阵。它被称为透视性而不是完全投影性，并且可以通过具有六个*度的变换来表示。(单应变换)
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在点的变换\(x' = Hx\)下，对应的圆锥曲线变换为\(C' = H^{-T}CH^{-1}\)，双圆锥曲线变换为\(C^{*'} = HC^*H^{T}\)
2.4 A hierarchy of transformations
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等距变换：保留欧几里德距离的平面\(IR^2\)的变换。
\[\left( \begin{matrix} x'\\y'\\1 \end{matrix} \right)=\left[ \begin{matrix} \epsilon cos\theta & -sin\theta & t_x\\ \epsilon sin\theta & cos\theta & t_y\\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]\left( \begin{matrix} x\\y\\1 \end{matrix} \right) \]这里的\(\epsilon = \pm1\)，表示方向（\(-1\)为反转方向）
可以写作矩阵块的形式如：
\[x' = H_Ex = \left[ \begin{matrix} R & t\\0^T & 1 \end{matrix} \right]x \]这里的\(R\)是\(2\times2\)的旋转矩阵（正交矩阵），\(t\)是一个\(2\times2\)的位移向量。
平面欧几里得变换具有三个*度，一个用于旋转，两个用于平移。
长度（两点之间的距离），角度（两线之间的角度）和面积是不变的。
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相似变换：由各向同性缩放组成的等距映射。
\[\left( \begin{matrix} x'\\y'\\1 \end{matrix} \right)=\left[ \begin{matrix} s~ cos\theta & -s~sin\theta & t_x\\ s~ sin\theta & s~cos\theta & t_y\\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]\left( \begin{matrix} x\\y\\1 \end{matrix} \right) \]可以写作矩阵块的形式如：
\[x' = H_Sx = \left[ \begin{matrix} sR & t\\0^T & 1 \end{matrix} \right]x \]标量s代表各向同性标度。
相似变换也称为等式变换，因为保留了“形状”。
平面相似度变换具有四个*度（3 + s(1) = 4）
线之间的角度不受旋转，平移或各向同性缩放的影响，相似性不变性也不受此影响。长度之比和面积之比是不变的。
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仿射变换：仿射变换是“线性变换”+“平移”，保持二维图形的“平直性”（straightness，即变换后直线还是直线不会打弯，圆弧还是圆弧）和“平行性”（parallelness，其实是指保二维图形间的相对位置关系不变，平行线还是平行线，相交直线的交角不变。）
\[\left( \begin{matrix} x'\\y'\\1 \end{matrix} \right)=\left[ \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & t_x\\ a_{21} & a_{22} & t_y\\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]\left( \begin{matrix} x\\y\\1 \end{matrix} \right) \]可以写作矩阵块的形式如：
\[x' = H_Ax = \left[ \begin{matrix} A & t\\0^T & 1 \end{matrix} \right]x \]这里的\(A\)是一个2 × 2的非奇异矩阵。
平面仿射变换有6个*度，对应6个矩阵元素。由三个对应点计算。
仿射矩阵\(A\)总是可以分解为
\[A = R(\theta)R(-\phi)DR(\phi) \]其中\(R(\theta)\)和\(R(\phi)\)分别是\(\theta\)和\(\phi\)的旋转角度，\(D\)是是对角矩阵
\[D = \left[\begin{matrix}\lambda_1 & 0\\0 & \lambda_2\end{matrix}\right] \]这个分解由SVD分解得到，\(A = UDV^{T} = (UV^{T})(VDV^{T}) = R(\theta)R(-\phi)DR(\phi)\)，其中\(U\)和\(V\)都是正交矩阵。
因此，仿射矩阵A可以理解为先进行角度的旋转然后再（旋转的）x和y方向上分别按λ1和λ2缩放，再依次进行\(-\phi\)角度的旋转和\(\theta\)角度的旋转。
仿射变换有六个*度，（4 + 缩放方向的角度\(\phi\) + 缩放参数\(\lambda_1 : \lambda_2\)的比率）
仿射变换不能保持原来的线段长度不变，也不能保持原来的夹角角度不变。
仿射变换有三个不变性：（1）平行线（2）平行线段的长度之比（3）面积比
根据\(det(A) = \lambda_1 \lambda_2\)的正负决定仿射保留原方向或反转。
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投影变换：是齐次坐标的一般非奇异线性变换。
\[x' = H_Px = \left[ \begin{matrix} A & t\\V^T & v \end{matrix} \right]x \]这里的\(v = (v_1, v_2)^T\)
投影变换有8个*度（总是可以按比例缩放矩阵以使v成为单位 9 - 1 = 8，可以通过四个点的对应关系来计算两个平面之间的投影变换。
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总结：投影和仿射变换之间的主要区别在于，对于投影变换，向量v不为null，这是投影变换非线性的原因。
比较理想点\((x_1,x_2,0)^T\)在仿射和投影变换下的不同。
仿射变换：
\[\left[ \begin{matrix} A & t\\0^T & 1 \end{matrix} \right]\left( \begin{matrix} x_1 \\x_2\\0 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} A \left( \begin{matrix} x_1\\x_2 \end{matrix} \right)\\0 \end{matrix} \right) \]投影变换：
\[\left[ \begin{matrix} A & t\\V^T & v \end{matrix} \right]\left( \begin{matrix} x_1 \\x_2\\0 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} A \left( \begin{matrix} x_1\\x_2 \end{matrix} \right)\\v_1x_1+v_2x_2 \end{matrix} \right) \]可以看到在仿射变化中，理想点保持理想状态（即无穷大）。 在投影变换中，它映射到一个有限点。
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投影变换的分解：投影变换可以分解为链式的变换。
\[H = H_SH_AH_P = \left[ \begin{matrix} sR & t\\0^T & 1 \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} K & 0\\0^T & 1 \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} I & 0\\V^T & v \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} A & t \\V^T & v \end{matrix} \right] \]其中\(A\)是由A \(= sRK + tv^T\)给出的非奇异矩阵，而\(K\)是归一化为\(det(K) = 1\)的上三角矩阵。如果\(v \neq 0\)，则此分解有效，如果将s选择为正，则分解是唯一的。
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函数无关（functionally independent ）不变量的数目 \(\ge\) 配置（configuration）的*度数 \(-\) 变换（transformation）的*度数。
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一维的投影几何：
使用\(\overline{x}\) 表示 二维向量\((x_1, x_2)^T\)，线的投影变换由2×2齐次矩阵表示：
\[\overline{x}' = H_{2\times 2} \overline{x} \]具有三个*度，可以从三个相应的点确定直线的投影变换。
交叉比率：交叉比率是\(IP^1\)的基本投影不变量：
\[Cross(\overline{x}_1,\overline{x}_2,\overline{x}_3,\overline{x}_4) = \frac{|\overline{x}_1\overline{x}_2| |\overline{x}_3\overline{x}_4|}{|\overline{x}_3\overline{x}_4||\overline{x}_2\overline{x}_4|} \]其中：
\[|\overline{x}_i\overline{x}_j| = det \left[ \begin{matrix} x_{i1} & x_{j1}\\x_{i2} & x_{j2} \end{matrix} \right] \]（1）交叉比率的值不取决于使用哪个特定的齐次表示点\(x_i\)，因为分子和分母的比抵消了尺度。
（2）如果每个点\(\overline{x}_i\)都是有限点，并且选择齐次表示，使得\(x_2 = 1\)，那么\(|\overline{x}_i\overline{x}_j|\)表示\(\overline{x}_i\)到\(\overline{x}_j\)的带符号的距离。
（3）如果其中一个\(\overline{x}_i\)是理想点，则交叉比率的定义依然有效。
（4）交叉比率的值在任何投影变换下不变。
下图说明了具有相等交叉比率的线之间的许多投影变换。
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共点线：线束交比由射影平面偶像性质得来。即“点”与“直线”为对偶元素，“过一点作一条直线”与“在一条直线上取一点”为对偶作图。
共点的四条线也有交比，根据对偶，共线的四个点有交比。且有对应的四点与四线的交比相等，如图：
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投影平面的拓扑：
射影平面\(IP^2\)可以看作是所有齐次三维向量的集合。\(x =(x1，x2，x3)^T\)可以通过乘任何非零因子变换得\(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 1\)，这样的点位于\(IR^3\)的单位球面上。
在\(IP^2\)中，\(x\)和\(-x\)表示一个点，尽管它们之间差了一个负号。因此，\(IR^3\)中的单位球面\(S2\)与投影平面\(IP^2\)之间存在二对一的对应关系。用拓扑学的语言来说，球体\(S^2\)是\(IP^2\)的双叶覆盖空间。
\(IP^1\)在拓扑上等同于标识了两个端点的线段，即圆\(S^1\)
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无限线：在投影变换下，理想点可以映射到有限点，因此无穷线可以映射到有限线。然而仿射变换不能做到将无穷映射到有限。
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在投影变换\(H\)下，无穷远直线\(l_\infty\)为不动直线的充要条件是\(H\)为仿射变换。
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圆点及其对偶：在任何相似变换下，\(l_\infty\)上有两个不动点（称为虚圆点）\(I,J\)：
\[I = \left( \begin{matrix} 1\\i\\0 \end{matrix} \right)~~~~~~~J = \left( \begin{matrix} 1\\-i\\0 \end{matrix} \right) \]圆点是一对复共轭理想点，
\[\begin{aligned} I' &= H_sI \\ &= \left[ \begin{matrix} s~ cos\theta & -s~sin\theta & t_x\\ s~ sin\theta & s~cos\theta & t_y\\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]\left( \begin{matrix} 1\\i\\0 \end{matrix} \right) \\&= se^{-i\theta}\left( \begin{matrix} 1\\i\\0 \end{matrix} \right) = I \end{aligned} \]对于\(J\)来说是一样的证明方法。
即：当且仅当\(H\)是相似变换时，圆点\(I,J\)是投影变换\(H\)下的不动点。
之所以称为“圆点”，是因为每个圆在圆点处相交\(l_\infty\)，在圆锥为圆的情况下：a = c和b = 0，将a和c设置为1，此圆锥在\(x_3=0\)的理想点处与\(l_\infty\)相交，即\(x_1^2 + x_2^2 = 0\)，该方程的解就是\(I = (1,i,0)^T\)和\(J = (1,-i,0)^T\)
与虚圆点对偶的二次曲线
\[C_\infty^* = IJ^T + JI^T \]它由两个圆点组成。在欧几里得坐标系统中：
\[C_\infty^* = \left( \begin{matrix} 1\\i\\0 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 1 & -i & 0 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1\\-i\\0 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 1 & i & 0 \end{matrix} \right) = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 \end{matrix} \right] \]即：当且仅当\(H\)是相似变换时，对偶二次曲线\(C^*_\infty\)在投影变换\(H\)下不变。
（1）\(C_\infty^*\)有四个*度：（\(3\times 3\)的齐次对称矩阵（5） - \(det(C^*_\infty)\) （1） = 4）
（2）\(l_\infty\)是\(C_\infty^*\)的空向量，从而\(C_\infty^* l_\infty = 0\)
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投影平面上的角度：两条线之间的角度是根据其法线的点积计算得出的。对于线\(l=(l_1,l_2,l_3)^T\)和\(m = (m_1,m_2,m_3)^T\)的法线分别平行于\((l_1,l_2)^T,(m_1,m_2)^T\)。
角度为：
\[cos\theta = \frac{l_1m_1+l_2m_2}{\sqrt{(l_1^2+l_2^2)(m_1^2+m_2^2)}} \]由于\(l\)和\(m\)的前两个分量在投影变换下没有明确定义的变换属性，因此上式在平面的仿射或投影变换后无法应用。
更换形式为：
\[cos\theta = \frac{l^TC_\infty^* m}{\sqrt{(l^TC_\infty^*l)(m^TC_\infty^*m)}} \]其中\(C_\infty^*\)是圆点的圆锥对偶。一旦在投影平面上确定了圆锥\(C_\infty^*\)，则欧几里德角可以由上式测量。
如果\(l^T C_\infty^* m = 0\)，则线\(l\)和\(m\)正交。
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长度比率：\(d(b,c):d(a,c) = sin\alpha:sin\beta\)，其中\(d(x,y)\)表示\(x\)和\(y\)之间的欧氏距离。使用上面的公式，对于任何指定了\(C_\infty^*\)的投影帧，\(cos\alpha\)和\(cos\beta\)可以由\(l' = a' \times b', m' = c' \times a', n' = b'\times c'\)计算而来。因此，可以从投影映射点确定\(sin\alpha,sin\beta\)以及比率\(d(a,b):d(c,a)\)。
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如果点变换\(x' = Hx\)，则\(C_\infty^*{'} = \left[\begin{matrix}KK^T & KK^Tv\\v^TKK^T & v^TKK^Tv\end{matrix}\right]\)
显然，射影分量\((v)\)和仿射分量\((K)\)是直接从\(C_\infty^*\)的图像确定的，但相似度分量不能确定。
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度量校正：假设已对图像进行仿射校正，则我们需要两个约束条件来指定圆点的2个*度，以便确定度量校正。这两个约束可以从世界平面上两个成像的直角获得。
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假设仿射校正图像中的线\(l',m'\)对应于世界平面上的正交线对\(l,m\)。通过\(l'^TC_\infty^*{'}m' = 0\)，并且根据上面的公式，使得\(v = 0\)，可以得到：
\[\left( \begin{matrix} l_1' & l_2' & l_3' \end{matrix} \right) \left[ \begin{matrix} KK^T & 0\\0^T & 0 \end{matrix} \right] \left( \begin{matrix} m_1'\\m_2'\\m_3' \end{matrix} \right) = 0 \]这是对\(2 \times 2\)矩阵\(S = KK^T\)的线性约束。 矩阵\(S = KK^T\)是对称的，具有三个独立元素，因此具有2个*度（因为总体缩放比例不重要）
公式可以简化为：
\[(l_1',l_2')S(m_1',m_2')^T = 0 \] -
一个点\(x\)和一个曲线\(C\)定义了一条线\(l = Cx\)，线\(l\)称为\(x\)相对于\(C\)的极点，点\(x\)是\(l\)相对于\(C\)的极点。
相对于圆锥\(C\)的点\(x\)的极线\(l = Cx\)在两个点上相交于圆锥。在这些点处与\(C\)相切的两条线在\(x\)处相交。
如果点\(x\)在\(C\)上，则极点是在x处与圆锥曲线的切线。
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关联：从\(IP^2\)的点到\(IP^2\)的线的可逆映射。由3×3非奇异矩阵\(A\)表示为\(l = Ax\)
共轭点：如果点\(y\)在线\(l = Cx\)上，则\(y^T l = y^T C x = 0\)。
满足\(y^TCx = 0\)的任意两点相对于圆锥\(C\)是共轭的。
如果\(x\)在\(y\)的极点上，则\(y\)在\(x\)的极点上。
第三节 投影几何和三维变换
3.1 点和投影变换
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三维空间点的齐次表示形式\(X = (x_1,x_2,x_3,x_4)^T\)，其中若\(x_4 = 0\)则为无穷点。
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作用于\(IP^3\)的投影变换是对由非奇异4×4矩阵表示的齐次四维向量的线性变换：\(X' = HX\)
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三维空间中的平面可以写成
\[\pi_1X + \pi_2Y + \pi_3Z + \pi_4 = 0 \]只有三个独立的平面系数比率\(\{π1：π2：π3：π4\}\)有效，所以平面在三维空间中有三个*度。
表示点在平面上：
\[\pi^TX = 0 \]\(\pi\)的前三个分量对应于欧几里得几何的平面法线。
使用非齐次表示为\(n \tilde{X} + d = 0\)，其中\(n = (\pi_1,\pi_2,\pi_3)^T,\tilde{X} = (x,y,z)^T, x_4 = 1, d = \pi_4\)，在这种形式下，\(d / ||n||\)表示平面到原点的距离。
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假设三个点\(X_i\)在平面\(\pi\)上，每个点都满足\(\pi^TX_i = 0\)，联立得到以下形式：
\[\left[ \begin{matrix} X_1^T\\X_2^T\\X_3^T \end{matrix} \right]\pi = 0 \]由于\(X_1,X_2,X_3\)是线性独立的\(\longrightarrow\)由点作为行组成的3×4矩阵的秩为3。
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定义矩阵\(M = [X,X_1,X_2,X_3]\)由一个普通点和三个在面\(\pi\)上的点\(X_i\)组成。
当\(X\)在平面\(\pi\)上时，\(det(M) = 0\)
\(det(M)\)如下：
\[det(M) = x_1D_{234} - x_2D_{134} + x_3 D_{124} - x_4D_{123} \]其中\(D_{jkl}\)是由\(4×3\)矩阵\([X_1,X_2,X_3]\)的\(jkl\)行形成的行列式。
对于平面上的点，\(det(M) = 0\)，所以平面的系数为\(\pi = (D_{234},-D_{134},D_{124},-D_{123})^T\)
例如：假设\(X_1 =\left(\begin{matrix}\tilde{X}_1\\1\end{matrix}\right)\) \(X_2 =\left(\begin{matrix}\tilde{X}_2\\1\end{matrix}\right)\) \(X_3 =\left(\begin{matrix}\tilde{X}_3\\1\end{matrix}\right)\)，其中\(\tilde{X} = (x,y,z)^T\)
计算\(D_{234} = \left|\begin{matrix}Y_1 & Y_2 & Y_3\\Z_1 & Z_2 & Z_3\\1 & 1 & 1\end{matrix}\right| = ((\tilde{X}_1 - \tilde{X}_3) \times (\tilde{X}_2 - \tilde{X}_3))_1\)
对于其他的\(D_{jkl}\)计算类似，最终得到：
\[\pi = \left( \begin{matrix} (\tilde{X}_1 - \tilde{X}_3) \times (\tilde{X}_2 - \tilde{X}_3)\\ -\tilde{X}_3^T(\tilde{X}_1 \times \tilde{X}_2) \end{matrix} \right) \]则平面法线为：
\[(\tilde{X}_1 - \tilde{X}_3) \times (\tilde{X}_2 - \tilde{X}_3) \] -
在点变换\(X' = HX\)下，平面的变换为：\(\pi' = H^{-T} \pi\)
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一条线可以通过其与两个正交平面的交点来指定。 每个交叉点都有2个*度，这表明IP3中的一条线总共有4个*度。
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平面\(\pi\)上的点\(X\)可以表示为：
\[X = Mx \]其中\(M\)是\(4 \times 3\)的矩阵，其列形成了\(\pi^T\)的秩为3的零空间。\(\pi^T M = 0\)
\(M\)不是唯一的，假设平面\(\pi = (a,b,c,d)^T\)，并且\(a\)是非零的向量，那么\(M^T = [p|I_{3\times 3}]\)，其中\(p = (-b/a, -c/a, -d/a)^T\)
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假设两条直线\(L, \hat{L}\)分别有点\(A,B\)和\(\hat{A},\hat{B}\)，那么当且仅当这四个点共面的时候，两条线会相交，其充要条件为：
\[det[A,B,\hat{A},\hat{B}] = ··· = (L|\hat{L}) \]所以，当且仅当\((L|\hat{L}) = 0\)时，\(L\)和\(\hat{L}\)才会相交（共面）。
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二次曲面：
其中Q是对称4×4矩阵。