4 线性时不变滤波器与系统
4.1 线性时不变系统及其时间响应函数
- Q: 如何理解\(h(n)=T\delta (n)\)及此\(h(n)\)的作用？
A: 对于线性时不变系统，可以只考虑\(\delta(n)\)的输出\(T\delta(n)\)（时间响应函数\(h(n)\)），此时任意\(x(n)\)的输出就可以用
\(y(n)=Tx(n)=Tx(n)*\delta(n)=T\sum x(k)\delta(n-k)\)
\(=(线性)\sum x(k)T\delta(n-k)=\sum x(k)h(n-k)=x(n)*h(n)\)计算。
注：也可以计算出频谱（频率响应函数）\(H(\omega) = \sum h(n)e^{-in\omega}\)和Z变换\(H(Z)= \sum h(n)Z^n,Z=e^{-i\omega}\)等。 - Q: 实际工程中不满足线性时不变怎么办？
A: 例如：近似认为线性时不变。认为分段线性时不变。“迭代”地自适应分段，等等。 - Q: 如果只知道\(u(n)\)响应，怎么求时间响应函数？
A: 提示：\(\delta(n) = u(n)- u(n-1)\)，并利用线性时不变性质。
4.2 线性时不变系统的因果性和稳定性
- Q: 直观解释因果性和\(h(n)\)的关系。
A: 设\(n\)数值大表示时间靠后，则\(\delta(n)\)作为输入时，输出只能作为“果”，即：使得\(h\ne 0\)的\(n\)只能为\(n\ge 0\).
想象：在第0时刻输入\(\delta(n)\)之前，系统对即将来的\(\delta(n)\)一无所知，所以\(n<0\)之前的反应和没有任何输入的反应应当相同。
（对于线性时不变系统没有任何输入，输出当然是0） - Q: 用范数考察两种稳定性的定义。
A: BIBO稳定性相当于考察max范数（无穷范数）。能量有限稳定性相当于考察2范数。 - Q: 两种稳定性充要条件分别是什么，这两种稳定性的条件有何联系？
A: BIBO稳定性等价于\(h\)“绝对收敛”，而能量有限稳定性等价于\(h\)频谱有界，后者是前者的必要不充分条件。
注：考察能量稳定性的充要条件时直接在频域考察，非常直观。 - Q: 对于\(Z\)变换为\(1/(1-2Z)\)的系统，且已知物理可实现，其收敛域是否包含单位圆？如果不包含，这是否和\(Z\)变换定义矛盾？
A: 不包含。物理可实现要求\(H(Z)\)展成正向单边级数，故收敛域为包含原点的圆盘。
形式上，此处\(Z\)变换可展开为\(1+2Z+\cdots\)，信号为\(1,2,4,\cdots\). 可以发现由于单位圆处级数不收敛，故该信号的频谱无意义。其实此处把\(Z\)变换当成形式记号即可。
实际上，如果我们只考察频谱有意义的信号，那么\(1/(1-2Z)=-\frac 1{2Z}\frac{1}{1-1/2Z}=-\frac 1{2Z}(1+1/2Z+\cdots)\)才是对的。
4.3 系统的组合——串联、并联及反馈
- Q: 卷积和乘法都具有（）律，所以容易证明两个（线性时不变）滤波器串联的时间响应函数为（），\(Z\)变换为（）。对并联回答以上问题。
A: 结合，两时间响应函数卷积，两\(Z\)变换乘积。
对加法的分配律，两时间响应函数之和，两\(Z\)变换之和。 - Q: 卷积（串联）的实际应用：光学上，点成像得到（），以及物体在曝光时间内（），都造成成像时的模糊，总的结果是两个效应的（）运算（假设两个效应都线性时不变）。
A: 斑（由于衍射），运动，卷积 - Q: 常见的（线性时不变）反馈系统\(y(t)=x(t)*h_1(t)-y(t)*h_2(t)\)对应的\(Z\)变换如何？
A: \(Y(Z)=X(Z)H_1(Z)-Y(Z)H_2(Z),\frac{Y(Z)}{X(Z)}=\frac{H_1(Z)}{1+H_2(Z)}\)
注：这样的\(Z\)变换较难直接算出\(h(n)\). 不过我们应用时也不需要算它。
4.4 有理系统及其时间响应函数
- Q: 分别解释名称“有理”和“递归”的由来。
A: 提示：有理指的是系统的Z变换是有理函数。注意分子分母都为有限项，这对\(H_1,H_2,h_1,h_2\)提出了要求。
递归指的是形如\(y(n)=\sum b_k x(n-k)-\sum a_k y(n-k)\)的结构中对\(y\)有递归。
注：可以看到，分母的常数项不能为0.
注：“有理”和“递归”也对应了实际工程中的设计思想。对于一些无法直接实现的结构，如理想低通滤波，你可以逼近；也可以让信号在系统里经过多个子系统，反复多次处理乃至使用递归等。 - Q: 求稳定有理系统的时间响应函数时，为什么要求分母在单位圆上无根？分母有重根怎么办？
A: 稳定的系统也能量稳定，频谱有界。在频谱存在时，\(Z\)取单位圆上数均应使表达式\(H(Z)\)有意义。
有重根时，仍按有理函数一般的分解方式，得到\(\sum \frac{c_j(l_j)}{(Z-\alpha_j)^{l_j}}\)，并对\(1/(Z-w)^n\)也正常使用幂级数展开。
（当然，可利用\(\frac{(2-Z)+Z}{(Z-2)^2}\)或\(1/(1-x)^2=(1/(1-x))'=(1+x+\cdots)'=1+2x+\cdots\)等方法） - Q: 对比1.和4.2题3.
A: 一般情况下，同一个\(Z\)变换可能对应多个不同收敛域及相应信号。根据需要的性质可进行筛选。
已知因果则“正向”，已知稳定则“包括单位圆”
注：之后差分方程要求“单向Z变换”，也是一个道理。 - Q: 时间响应函数\(h(n)\)表达式中，出现了\(2^n\)说明系统就不稳定了吗？
A: 如果\(n\le c\)范围内表达式\(2^n\)，那没关系。
4.5 差分方程的单边\(Z\)变换解法
- Q: 简要解说“稳定性条件”“唯一确定”“差分方程不同”“还要知道初始值”
A: 例：任何时候，\(y(n)=y(n-1)+x(n)\)都不足以从\(x(n)\)唯一确定输出。
为了确定输出，要么确定初始值（差分方程），要么确定稳定性条件或其他条件。 - Q: 上面的差分方程可以有无穷多种初值，但\(Y(Z)=ZY(Z)+X(Z)\Leftrightarrow Y(Z)/X(Z)=1/(1-Z)\)只对应两种可能的系统，这是怎么回事？
A: 提示：使用\(Z\)变换就是假设线性。如果指定线性，则差分方程的初值也不可能是无穷多种了。
更进一步：如果指定线性，稳定，则差分方程没有合法初值。（当然\(1/(1-Z)\)也不对应任何合题意的系统了） - Q: 用多项式乘法的视角考察单边\(Z\)变换解差分方程。
A: 举例：\((1+2x+4x^2\cdots)(1-2x)=1\)，记其中\(a_n = u(n) 2^n\)，那么上面的方程
\((a_0+a_1x+\cdots)(1-2x)=1\)
也就是
\(a_0=1,a_1-2a_0=0,a_2-2a_1=0,\cdots\).
这也可以看出乘积和卷积的关系，为什么要单边，等等。 - Q: 斐波那契数列意思就是\(y(n)-y(n-1)-y(n-2)=x(n)=0\)嘛？
A: 不是。初始处两个值要特殊考虑。\(x(n)\)不恒为0. - Q: “0输入解”和“0状态解”可以类比什么数学中的对象？
A: 如：非齐次线性方程组的通解的两部分。 - Q: 对于\(y(n)-\alpha y(n-1)=x(n),x(n)=\alpha\delta(n), y(-1)=\beta\)，如何使用\(Z\)变换表示\(Y\)和\(X\)的关系？
A: \(Y(Z)-\alpha (y(-1)+\sum_{n=1}^\infty y(n-1)Z^n)=X(Z)\)
\(Y(Z) - \alpha y(-1) - \alpha Z Y(Z) = X(Z)\)，注意比\(ZY(Z)\)多出了一项\(y(-1)\)
习题
- Q: 做分解：\(\frac 1{(1-\alpha Z)(1-\beta Z)}\)
A: \(原式 = (\frac 1{1-\alpha Z}/\beta - \frac 1{1-\beta Z} / \alpha)/(1/\beta - 1/\alpha)\)