对于ODE

\[\dot{x} = f(t, x), x(0) = x_0 \]

我们需要考虑它是否存在唯一解，也即存在唯一性定理的条件。最通用的方法是Pichard迭代：

\[x_0(t) = x_0 \]

\[K:x_1(t) = x_0 + \int_0^t f(s, x_0)ds \]

\[K^2:x_2(t) = x_0 + \int_0^t f(s, x_1(s))ds \]

\[\cdots \]

\[K^n:x_n(t) = x_0 + \int_0^t f(s, x_{n-1}(t))ds \]

当\(f\)满足Lipschitz连续时，我们可以证明Pichard迭代\(K\)是一个压缩映射，这是因为

\[||K(x)-K(y)|| = \left|\int_0^t f(s, x(s)) - f(s, y(s))ds\right| \leq \int_0^t |f(s, x(s)) - f(s, y(s))|ds \]

\[\leq \int_0^t L|x(s) - y(s)|ds \leq Lt \sup_{0 \leq s \leq t} |x(s) - y(s)| = Lt ||x - y|| \]

根据巴拿赫不动点定理，\(K\)有唯一的不动点\(x^*\)，也即ODE的解。

注意：如果\(f\)不满足Lipschitz连续，那么ODE的解可能不唯一。考虑

\[\dot{x} = 2\sqrt{x} \]

以下方程都满足这个ODE:

\[x_a(t) = \begin{cases}0 & t< a \\ (t-a)^2 & t \geq a\end{cases} \]

但是，\(f\)只需要在区间\([x_0 - \delta, x_0 + \delta]\)上有界且连续就可以保证解的存在性。我们可以证明Peano存在性定理：
我们令\(M = \max |f(t, x)|, T_0 = \min(T, \delta / M)\)，则对于\(s, t \in [0, T_0]\)，Pichard迭代中的\(x_n\)满足等度连续

\[|x_n(t) - x_n(s)| \leq M|t - s| \]

根据Arzelà–Ascoli定理，存在一致收敛的子列\(x_n(t) \to x(t)\)，也即区间\([0, T_0]\)上存在ODE的解。