Matrix&Vector的运算

原文地址：http://eigen.tuxfamily.org/dox/group__TutorialMatrixArithmetic.html

本章主要对矩阵、向量和标量之间的计算做一些简要介绍

介绍

为了实现矩阵（向量）之间的计算，Eigen同时提供了运算符重载（+、-、×、/ 等）和类方法（dot()、corss() 等）两大形式的工具。对于Matrix类，重载的运算符只支持线性代数相关算法。例如，matrix1*matrix2意味着矩阵之间的点乘，vector+scalar是不被允许的表达式。如果你需要数组操作而非线性代数计算，可参考这里。

加减运算

加减运算符左右的矩阵必须有相同的尺寸，也必须有相同的元素类型，Eigen不支持自动类型提升。一下为运算符示例：a+b、a-b、-a、a+=b、a-=b。

矩阵与标量的乘除

矩阵乘或者除以标量的方法也很简单，例如：matrix/scalar、m*s、s*m、m/=s、m*=s

表达式注意事项

这里描述的是Eigen的高阶特性，具体内容可以参考这里，这里我们稍微提一下。在EIgen中算术运算符并不做实际的计算，这些运算符只是返回一个被标识要做相关计算的对象，真实的计算发生在对整个表达式求值的时候，一般是遇见赋值等号的时候。这样做有利于编译器做优化。举个例子：

VectorXf a(50), b(50), c(50), d(50);
...
a = 3*b + 4*c + 5*d;

Eigen将上面的表达式编译为一个for循环，在不考虑其他优化（SIMD）的情况下可以等价为如下代码：

for(int i = 0; i < 50; ++i)
  a[i] = 3*b[i] + 4*c[i] + 5*d[i];

译者注：如果所有的实际计算发生在运算符出现的地方，那么上面的代码最少需要三个for循环分别迭代b、c、d这三个矩阵，和一个for循环比起来在循环次数上后者是前者的1/3

所以不要怕使用非常长的算术表达式，长的算术表达式便于编译器做优化。

转置和共轭

译者注：因为很久没有接触线性代数了，很多概念已经很生疏，故不对本小结再做翻译，以防出错。本小结主要介绍了一些求解矩阵特殊解的方法，例如求转置的transpose()等

矩阵与矩阵和矩阵与向量之间的乘法

矩阵与矩阵（向量）之间的乘法使用运算符*，例如：a*b、a*=b

默认情况下Eigen在做矩阵乘法的时候会生成一个临时变量来保存计算值，然后赋予等号左边的变量。如果你确定你不需要临时变量，可以使用noalias() 方法

点乘与叉乘

Eigen使用 dot() 和 cross() 实现点乘和叉乘。
...

基本的算术约简运算

Eigen提供了一些约简方法，将矩阵和向量转化为一个标量值。例如元素求和方法 sum()、元素乘积方法 prod()、最大元素方法 maxCoeff()、最小元素方法 minCoeff()。求对角元素之和可以使用方法 trace() 也可以使用 a.diagonal().sum() 方法。

运算有效性检查

Eigen将检查你的运算是否合法。Eigen会在编译或者运行时检查运算的有效性。那些在编译期间无法检查到的问题会在运行时进行检查。Debug模式下Eigen会使用断言来检查计算的有效性与合法性，Release模式下如果出现非法运算，程序将直接崩溃退出。