[入门到入土] 简单一元导数

2024-02-05 12:50:04

之前一直抱着懒的心理，看着机房的各位学导数

直到有一天某位给我说：不学导数，学什么信息

于是乎我就从选择性必修Ⅱ上瞎学了点简单的一元导数

定义

实际上我也不知道为什么这个导数的称谓这么麻烦，某点的导数是导数（废话），某个函数的导函数也可以简称为导数，两者相关但是又有差别，所以我就分开写吧（

定义Ⅰ

对于函数\(y=f(x)\)，设\(x\)从\(x_0\)变化到\(\Delta x+x_0\)（\(\Delta x\)是\(x\)的变化量），设\(y\)的变化量为\(\Delta y\)对于\(\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\),当\(\Delta x\to 0\)的时候，也就是\(\frac{\Delta y}{\Delta x}\)有极限时，就称\(y=f(x)\)在\(x=x_0\)处可导，并把此值叫做\(y=f(x)\)在\(x=x_0\)处的导数（或称瞬时变化率）。

记作\(f^\prime(x_0)\)或\(y^\prime|_{x=x_0}\)，有：

\[f^\prime(x_0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} \]

在这里稍微提一下，其实这就是\(f(x)\)图像上这一点的斜率

定义Ⅱ

前面说到的定义Ⅰ下面说到，实际上面那个极限就是求函数图像上某点的斜率，可见\(x=x_0\)时\(f^\prime(x_0)\)是一个唯一确定的数，那么我们可推得：\(\forall x \in R\)，都有一个唯一的\(f^\prime(x)\)与其对应，所以\(f^\prime(x)\)实际上是一个关于\(x\)的函数，我们把它称作\(y=f(x)\)的导函数（简称导数），即：

\[f^\prime(x)=y^\prime=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \]

几何意义

前面实际上有提到几何意义，实际上就是图像的斜率

对于定义Ⅰ，导数是某函数上某点的对应图像的斜率

对于定义Ⅱ，导函数（导数）是某函数的图像的斜率的变化函数

下面用\(f(x)=x^3\)来简单的举一个例子

下面这个图就是\(f(x)=x^3\)的图像，我们选取\(x=2\)，求它的导数应为：

\(f^\prime(2)=3\times2^2=12\)

也就是说在(2,8)的切线（蓝线）的斜率是12：

而对于\(f(x)\)的导函数\(f^\prime(x)\)，通过计算得到是\(f^\prime(x)=3x^2\)，画出来是这样的（紫线）：

（实际上我刚才在算\(f^\prime(2)\)的时候就是把2带入这个导函数算的）

也就是说对于给定的\(x\)，我们可以直接求出这一点的导数，这和定义Ⅱ是相符合的

运算

引入

可以见到的是，对于前面所说到的求导数公式，若每次都往里面带入函数的话，在有些时候是很麻烦的，但是我们也在计算的时候可以找到一些规律，而先人们也为我们总结了公式

不过在看公式之前，先看几个例子体会一下规律

Q1:求\(f(x)=114514x\)的导数？

A1:带入公式可得：\(f^\prime(x)=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{114514(x+\Delta x)-114514 x}{\Delta x}=114514\)

Q2：求\(g^\prime(x)=4x^2\)的导数？

A2：带入公式可得：\(g^\prime(x)=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{4(x+\Delta x)^2-4x^2}{\Delta x}=\frac{4\Delta x^2+8x\cdot\Delta x}{\Delta x}=8x\)

Q3：求\(h^\prime(x)=1919810x^2+580214\)的导数？

A3：带入公式可得：\(h^\prime(x)=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{1919810(x+\Delta x)^2+580214-1919810x^2+580214}{\Delta x}=3839620x\)

我在刚学完定义，做前面的习题的时候，做着做着就发现了：

对于二次函数\(f(x)=ax^2+c\)的导数，好像就是\(f(x)=2ax\)
对于一次函数\(f(x)=ax+c\)的导数，好像就是\(f(x)=a\)

于是我带入了一般情况验证，果然如此

那么下面将引入基本的公式

基本公式

\(f(x)=c \Rightarrow f^\prime(x)=c\)
\(f(x)=x^\alpha(\alpha \in Q,\alpha \ne 0) \Rightarrow f^\prime(x)=\alpha x^{\alpha-1}\)
- 常用：
- \(x \Rightarrow 1\)
- \(x^2 \Rightarrow 2x\)
- \(x^3 \Rightarrow 3x^2\)
- \(x^{\frac{1}{2}} \Rightarrow \frac{1}{2\sqrt x}\)
- \(x^{-1} \Rightarrow \frac{1}{x^2}\)
\(f(x)=\sin x \Rightarrow f^\prime(x)=\cos x\)
\(f(x)=\cos x \Rightarrow f^\prime(x)=-\sin x\)
\(f(x)=\alpha^x (\alpha>0,a\ne1)\Rightarrow f^\prime(x)=\alpha^x\ln\alpha\)
- Speacial：\(f(x)=e^x \Rightarrow f^\prime(x)=e^x\)
\(f(x)=\log_\alpha x(\alpha>0,\alpha\ne 1)\Rightarrow \frac{1}{x\ln\alpha}\)
- Speacial：\(f(x)=\ln x \Rightarrow f^\prime(x)= \frac{1}{x}\)

（这可能使用尽了我的\(\LaTeX\)知识储备/kk）

基本四则运算

还是先举一个例子来引入一下：

这里给出一个函数，如何求导？

\(f(x)=2x^2+x+4\)

它的图象是这样的：

而我们带入公式可以得到它的导数是：

\(f^\prime(x)=4x+1\)

我们再来观察一下\(g(x)=2x^2\)，\(w(x)=x\)和\(p(x)=4\)的导数：

由刚才的公式易得，分别是\(g^\prime(x)=4x,w^\prime(x)=1,p^\prime(x)=0\)

而它们相加正是我们带入公式求得的

于是乎我们再进行一般化的煺导之后，可得：

对于\(f(x)=g(x)±w(x)\)，有：\(f^\prime(x)=g^\prime(x)±w^\prime(x)\)

然后因为我懒得煺了，下面就直接给出全部的基本四则运算的公式吧

加减上面已经给出，下面给出乘法和除法：

\[1. f(x)=g(x)w(x)\Rightarrow f^\prime(x)=g^\prime(x)w(x)+g(x)w^\prime(x) \\ 2. f(x)=\frac{g(x)}{w(x)}(w(x) \ne 0)\Rightarrow f^\prime(x)=\frac{g^\prime(x)w(x)-g(x)w^\prime(x)}{[w(x)]^2} \]

这就非常好记

这里简单一提简单复合函数的导数：

设\(y=f(x),u=g(x)\)，则有\(y^\prime_x=y^\prime_uu^\prime_x\)

~~导数在研究函数中的应用仙咕着，后面可能单开一个随笔说~~

上面这句话划掉，我来填坑了

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基本四则运算

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