前文再续，书接上一回……

上一次我们讲了，只要做密度聚合，不管怎么去分你的尺度，都有可能产生断崖式的变化，那么有没有一种方法，让我们能够尽量避免断崖式的变化呢？

最简单的就是滑动平均了：把原始数据集中的每个点当作连续的分布于一个范围内的值，然后把重叠的部分累加起来；并且鉴于全部的值加起来，要等于原始值。如下：我们把每个点以均匀对称的方式，让它在5个单位上平滑。

5个原始点的分配，每个点滑动平均5个单位，也就是每个单位的密度就是0.2，把它们有重合的地方累加起来，最后总得值也是等于5的。下面的直方图可以很明显的显示了这种方式的分布效果。

比如我们在做专题图的时候，就经常用到这种技术：

但是带来的问题，依然是在不同区域的边界产生了跳跃：密度值从一个值到另外一个值仍然有突然变化的可能。当然，这种方式，密度始终围绕着原始值进行均匀散布，但是在值的变化过程中还还缺了一个中间值来进行表示。

也就是说，结果依然觉得不够平滑……

解决这个问题的办法，最常用的就是通过选择一个定义明确、光滑和***的函数来解决，也就是所谓的核（Kernel）：这个核不是威猛无比的那个nuclear……而是所谓的“核心”的核。

通常，我们用正态分布函数，把每个原始点的值绘制为正态分布曲线，就像下图的蓝色曲线部分，然后把所有的曲线下方的区域累加在一起，就得到了上面那条红色的曲线……如果想把该曲线的面积调回到1，就把这个曲线除以5就好了（绿色的线——实际上，这种调整是一种分布的规范化方式，用以有别于正态分布）。采用这种方式来进行表述的时候，通常我们把这个东东称为概率密度，当把他们扩展到二维平面上的时候，得到曲面就称为概率密度曲面而不是密度曲面了。

上面这张图就是所谓的单变量正态核平滑和累积密度图。

上面这张图的R语言代码如下，大家可以自己试试：

（从下面的y和y2的计算，就可以看出核曲线的特征了）

aa1 <-curve(dnorm(x, 7, 1), from = 0, to = 20,xlim=c(0,20),ylim=c(0,1.0),col="blue",lwd=2,lty=1) aa2 <-curve(dnorm(x, 8, 1), from = 0, to = 20,add=T,col="blue",lwd=2,lty=2) aa3 <-curve(dnorm(x, 9, 1), from = 0, to = 20,add=T,col="blue",lwd=2,lty=3) aa4 <-curve(dnorm(x, 12, 1), from = 0, to = 20,add=T,col="blue",lwd=2,lty=4) aa5 <-curve(dnorm(x, 14, 1), from = 01, to = 20,add=T,col="blue",lwd=2,lty=5) axis(side=1,at=c(1:20)) y = aa1$y +aa2$y+aa3$y+aa4$y+aa5$y y2 = y /5 lines(aa1$x,y,lwd=3,lty=1,col="red") lines(aa1$x,y2,lwd=3,lty=1,col="green") legend("topright", legend = c("N(7,1)","N(8,1)","N(9,1)","N(12,1)","N(14,1)","sum","Normal"), col=c("blue","blue","blue","blue","blue","red","green"), lwd=c(2,2,2,2,2,3,3), lty=c(1,2,3,4,5,1,1))

说到核了，就得说说核函数的问题。

首先核函数有很多种，常用的有下面这些：

信息来源：https://en.wikipedia.org/wiki/Kernel_(statistics)

具体公式如下：

对于做理论研究的同学，可以好好的去计算一下（建议能够进行手算），对于虾神这种工程界的人士，有现成的*就不用自己造了——这些核函数，在R语言和Python里面，无论是算法乃至于可视化方式，大部分都直接内置了，比如我用Python的Seaborn包，利用不同的核函数绘制了一些曲线，就能看出一定的效果来了，如下所示：

一维数轴上的核密度曲线，主要是用来演示和介绍核函数的，实际上作为我们做GIS的，更习惯于在二维平面上来进行核密度分析，所以下一节我们来讲讲在二维平面上的核密度计算原理和方法。

待续未完。

客官……到这里了，点个在看呗