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此示例显示如何估计条件均值和方差模型。

加载数据并指定模型 

加载NASDAQ数据 。为了使数值平稳，将数据转换为收益率。建立AR（1）和GARCH（1,1）模型。

 

load Data_EquityIdx
nasdaq = DataTable.NASDAQ;
r = 100*price2ret(nasdaq);
T = length(r);

Mdl = arima('ARLags',1,'Variance',garch(1,1))
Mdl = 
  arima with properties:

     Description: "ARIMA(1,0,0) Model (Gaussian Distribution)"
    Distribution: Name = "Gaussian"
               P: 1
               D: 0
               Q: 0
        Constant: NaN
              AR: {NaN} at lag [1]
             SAR: {}
              MA: {}
             SMA: {}
     Seasonality: 0
            Beta: [1×0]
        Variance: [GARCH(1,1) Model]

不使用预采样数据估计模型参数 

 使用estimate。使用estimate自动生成的预采样样本。

EstMdl = estimate(Mdl,r);
 
    ARIMA(1,0,0) Model (Gaussian Distribution):
 
                 Value      StandardError    TStatistic      PValue  
                ________    _____________    __________    __________

    Constant    0.072632      0.018047         4.0245      5.7087e-05
    AR{1}        0.13816      0.019893          6.945      3.7845e-12

 
 
    GARCH(1,1) Conditional Variance Model (Gaussian Distribution):
 
                 Value      StandardError    TStatistic      PValue  
                ________    _____________    __________    __________

    Constant    0.022377      0.0033201        6.7399      1.5852e-11
    GARCH{1}     0.87312      0.0091019        95.927               0
    ARCH{1}      0.11865       0.008717        13.611      3.4339e-42

估计显示五个估计参数及其对应的标准误差（AR（1），条件均值模型具有两个参数，GARCH（1,1）条件方差模型具有三个参数。

推断条件方差和标准化残差

推断并绘制条件方差和标准化残差。 输出对数似然目标函数值。

[res,v,logL] = infer(EstMdl,r);

figure
subplot(2,1,1)
plot(v)
xlim([0,T])
title('Conditional Variance')

subplot(2,1,2)
plot(res./sqrt(v))
xlim([0,T])
title('Standardized Residuals')

在2000个样本之后，条件方差增加。看到波动性增加。

标准化残差在标准正态分布下具有比预期更大的值 。 

拟合具有t分布的模型 

修改模型为Student's t分布 ，指定方差模型常量项的初始值。

MdlT = Mdl;
MdlT.Distribution = 't';
EstMdlT = estimate(MdlT,r,'Variance0',{'Constant0',0.001});
 
    ARIMA(1,0,0) Model (t Distribution):
 
                 Value      StandardError    TStatistic      PValue  
                ________    _____________    __________    __________

    Constant    0.093488      0.016694         5.6002      2.1412e-08
    AR{1}        0.13911      0.018857         7.3771      1.6175e-13
    DoF           7.4775       0.88261          8.472      2.4125e-17

 
 
    GARCH(1,1) Conditional Variance Model (t Distribution):
 
                 Value      StandardError    TStatistic      PValue  
                ________    _____________    __________    __________

    Constant    0.011246      0.0036305        3.0976       0.0019511
    GARCH{1}     0.90766       0.010516        86.316               0
    ARCH{1}     0.089897       0.010835        8.2966      1.0712e-16
    DoF           7.4775        0.88261         8.472      2.4125e-17

当t分布时，系数估计值会略有变化。第二个模型拟合（EstMdlT）有一个额外的参数估计，即t分布*度。估计的*度相对较小（约为8），表明有明显误差。

比较模型拟合 

使用赤池信息准则（AIC）和贝叶斯信息准则（BIC）比较两种模型拟合 。首先，获得第二拟合的对数似然目标函数值。

[resT,vT,logLT] = infer(EstMdlT,r);
[aic,bic] = aicbic([logL,logLT],[5,6],T)
aic = 1×2
103 ×

    9.4929    9.3807

bic = 1×2
103 ×

    9.5230    9.4168

第二个模型有六个参数，而第一个模型中有五个参数 。尽管如此，两个信息标准都支持具有学生t分布的模型。