第二类斯特林数的通项公式：

\[S(n,k) = \frac {\sum_{i=0}^k (-1)^i*\binom{k}{i}*(k-i)^n}{k!} \]

带入原式可得：

\[\sum_{i = 0}^n\sum_{j = 0}^n S(i,j)*2^j*j!\\= \sum_{i= 0}^n\sum_{j =0}^n 2^j*j!\frac {\sum_{k=0}^j (-1)^k*\binom{j}{k}*(j-k)^i}{j!}\\= \sum_{j=0}^n 2^j*j!\sum_{k = 0}^j \frac{(-1)^k}{k!}*\frac{\sum_{i = 0}^n (j-k)^i}{(j-k)!}\]

然后 \(\sum_{i = 0}^n (j-k)^i\) 可以等比数列求和 \(O(1)\) 计算，最后就是用 NTT 算个卷积。