算法练习之DP 求LCM (最长公共子序列)

1. 对于序列x[1,i]和y[1,j],推导递推公式
1.a 假设当前元素同样,那么就将当前最大同样数+1
2.b 假设当前元素不同。那么就把当前最大同样数“传递”下去

因此递推公式为:

x[i] == y[j] : dp[i][j] = Max(dp[i-1][j-1],dp[i][j-1],dp[i-1][j]) + 1
x[i] != y[j] : dp[i][j] = Max(dp[i][j-1],dp[i-1][j])

因为x[i]!=y[j]的情况不难能够对x[i]==y[j]时的情况化简得:

x[i] == y[j] : dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1

2. 依据公式填充dp数组

比如,对于ABCDBC 和 BADC这两个字符串,在最长公共子串时 :

2.a 第一列置0,即将dp[0][j]和dp[i][0] = 0

2.b 运用公式填表,例如以下所看到的

 	A B C D B C
0 0 0 0 0 0
B 0 0 1 1 1 2 2
A 0 1 1 1 1 2 2
D 0 1 1 1 2 2 2
C 0 1 1 2 2 2 3

3. C# 代码演示样例:

void Main()
{
var r = DP_LCS("ABCDBC","BADC");
Console.WriteLine(r);
} static int DP_LCS(string x, string y){ int[,] dpArr = new int[x.Length+1,y.Length+1]; for(var i = 0 ;i <= x.Length; i++){
for(var j = 0 ;j <= y.Length; j++){
if(i == 0 || j == 0){
dpArr[i,j] = 0;
} else if (x[i - 1] == y[j - 1]){
dpArr[i,j] = dpArr[i-1,j-1] + 1;
}
else {
dpArr[i,j] = Math.Max(dpArr[i-1,j],dpArr[i,j-1]);
} }
} return dpArr[x.Length, y.Length]; }
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