Chevalley-Warning 定理
令\(K\)是\(q = p^f\)阶域，\(f_\alpha\)是域\(K\)上一组多元多项式，满足\(\sum_\alpha \deg f_\alpha < n\)，令\(V \subset K^n\)是它们的公共零点，则有

\[\text{Card}(V) = 0 \quad (\mod p) \]

这个定理的证明分为两步：我们令\(P=\sum_\alpha (1 - f_\alpha^{q - 1})\)以及\(S(f) = \sum_{x\in K^n} f(x)\)，我们首先证明

\[\text{Card}(V) = S(P) \]

这是因为我们可以验证

\[P(x) = \begin{cases} 1 & x \in V\\ 0 & x\not\in V \end{cases}\]

因此\(S(P)\)恰好计算了\(V\)中的元素个数。接下来我们证明

\[S(P) = 0 \quad (\mod p) \]

通过\(\sum_\alpha \deg f_\alpha < n\)，我们知道\(\deg P < n(q-1)\)，也就是说\(P\)的每项\(X^u = X_1^{u_1}X_2^{u_2}\dots X_n^{u_n}\)满足\(\sum u_i < n(q-1)\)。因为\(K^n\)中必定存在\(y\)满足\(y^u \neq 1\)，那么

\[S(X^u) = \sum_{x\in K^n} x^u = \sum_{x\in K^n} y^u x^u = y^u S(X^u) \quad (\mod p) \]

也即\((1- y^u)S(X^u) = 0 \quad (\mod p)\)，于是\(S(X^u) = 0 \quad (\mod p)\)。

勒让德符号
在域\(F_p\)中，我们定义勒让德符号为

\[\left(\frac{x}{p}\right) = x^{(p-1)/2} = \pm 1 \]

勒让德符号有以下性质：

\[\left(\frac{x}{p}\right)\left(\frac{y}{p}\right) = \left(\frac{xy}{p}\right) \]

\[\left(\frac{1}{p}\right) = 1 \]

\[\left(\frac{-1}{p}\right) = (-1)^{(p-1)/2} \]

勒让德符号最重要的性质是二次互反律：

\[\left(\frac{q}{p}\right)\left(\frac{p}{q}\right) = (-1)^{(q-1)/2\cdot (p-1)/2} \]

在二次互反律最经典的证明中，我们使用高斯和

\[y = \sum_{x = 1}^{q - 1} \left(\frac{x}{q}\right)w^x \]

其中\(w^q = 1\)是\(q\)次单位根。通过以上性质证明以下两步，我们就能得到二次互反律：

\[y^2 = (-1)^{(q-1)/2} q \]

\[y^{p-1} = \left(\frac{p}{q}\right) \]