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引
PPCA 通过高斯过程给出了普通PCA一个概率解释，这是很有意义的。论文还利用PPCA进行缺失数据等方面的处理（不过这方面主要归功于高斯过程吧）。
\[
t = Wx + \mu + \epsilon
\]
其中\(t \in \mathbb{R}^d\)为观测变量，也就是样本，而\(x \in \mathbb{R}^q\)是隐变量，\(W \in \mathbb{R}^{d \times q}\)将\(x,t\)二者联系起来。另外，\(\epsilon\)是噪声。
令\(S = \frac{1}{N} \sum \limits_{n=1}^N (t_n -\mu )(t_n - \mu)^T\)是样本协方差矩阵，其中\(\mu\)是样本均值。论文的主要工作，就是将\(S\)的列空间和\(W\)联系起来。
主要内容
假设\(\epsilon \sim N(0, \sigma^2 I)\),\(\: x \sim N(0, I)\)，二者独立。那么，容易知道\(t\)在\(x\)已知的情况下的条件概率为：
\[
t|x \sim N(Wx + \mu, \sigma^2I)
\]
然后论文指出，通过其可求得\(t\)的边际分布：
\[
t \sim N(\mu, C)
\]
其中\(C = WW^T + \sigma^2 I\)。这个证明，在贝叶斯优化中有提过，不过我发现，因为\(t=Wx+\mu + \epsilon\)，是服从正态分布随机变量的线性组合，所以\(t\)也服从正态分布，所以通过\(E(t)\)和\(E((t-E(t))(t-E(t))^T)\)也可以得到\(t\)的分布。
其似然函数\(L\)为：
将\(W，\sigma\)视为参数，我们可以得到其极大似然估计：
其中\(U_{q}\)的列是\(S\)的主特征向量，而\(\Lambda_q\)的对角线元素为特征向量对应的特征值\(\lambda_1, \ldots, \lambda_q\)（为所有特征值的前\(q\)个，否则\(W\)将成为鞍点），\(R \in \mathbb{R}^{q \times q}\)是一个旋转矩阵。注意到，\(W_{ML}\)的列向量并不一定正交。
这部分的推导见附录。
同样的，我们可以推导出，\(x\)在\(t\)已知的情况下的条件分布：
\[
x|t \sim N(M^{-1}W^T(t-\mu),\sigma^2 M^{-1}
\]
其中\(M = W^TW+\sigma^2I\)
这个推导需要利用贝叶斯公式：
\[
p(x|t) = \frac{p(t|x)p(t)}{p(t)}
\]
为什么要提及这个东西，因为可以引出一个很有趣的性质，注意到\(x|t\)的均值为：
\[
M^{-1}W^T(t-u)
\]
令\(W = W_{ML}\),且假设\(\sigma^2 \rightarrow 0\)，那么均值就成为：
\[
(W_{ML}^TW_{ML})^{-1}W_{ML}^T(t-u)
\]
实际上就是\((t-u)\)在主成分载荷向量上的正交投影，当然这里不要计较\(W_{ML}^TW_{ML}\)是否可逆。这就又将PPCA与普通的PCA联系在了一起。
EM算法求解
论文给出了\(W\)的显式解（虽然有点地方不是很明白），也给出了如何利用EM算法来求解。
构造似然估计：
对\(x_n\)求条件期望（条件概率为\(p(x_n|t_n,W,\sigma^2)\)）：
\(M\)步是对上述\(W,\sigma\)求极大值，注意\(<\cdot>\)里面的\(M, \sigma\)是已知的（实际上，用\(M', \sigma'\)来表述更加合适）：
有更加简练的表述形式：
符号虽然多，但是推导并不麻烦，自己推导的时候并没有花多大工夫。
附录
极大似然估计
已知对数似然函数为：
先考察对\(W\)的微分：
\[
\begin{array}{ll}
\mathrm{d}L = -\frac{N}{2}\{\frac{\mathrm{d}|C|}{|C|} + \mathrm{dtr}(C^{-1}S)\}
\end{array}
\]
\[
\begin{array}{ll}
\frac{\mathrm{d}|C|}{|C|}
&= \mathrm{tr}(C^{-1}\mathrm{d}C) \\
&= \mathrm{tr}[C^{-1}(\mathrm{d}WW^T+W\mathrm{d}W^T)] \\
&= 2\mathrm{tr}[W^TC^{-1}\mathrm{d}W] \\
\end{array}
\]
\[
\begin{array}{ll}
\mathrm{dtr}(C^{-1}S)
&= \mathrm{tr}(\mathrm{d}C^{-1}S) \\
&= -\mathrm{tr}(C^{-1}[\mathrm{d}C]C^{-1}S) \\
&= -\mathrm{tr}(C^{-1}SC^{-1}\mathrm{d}C) \\
&= -2\mathrm{tr}(W^TC^{-1}SC^{-1}\mathrm{d}W) \\
\end{array}
\]
所以，要想取得极值，需满足：
\[
C^{-1}W = C^{-1}SC^{-1}W \\
\Rightarrow \quad SC^{-1}W=W
\]
论文说这个方程有三种解：
- \(W=0\)，0解，此时对数似然函数取得最小值（虽然我没看出来）。
\(C=S\):
\[ WW^T + \sigma^2 I = S \\ \Rightarrow WW^T = S-\sigma^2 \]
其解为：
\[ W = U_{S} (\Lambda_S-\sigma^2I)^{1/2}R \]
其中\(S = U_S \Lambda U_S^T\)。第三种，也是最有趣的解，\(SC^{-1}W=W\)但是\(W \ne 0, C \ne S\)。假设\(W=ULV^T\),其中\(U \in \mathbb{R}^{d \times q}\), \(L \in \mathbb{R}^{q \times q}\)为对角矩阵，\(V \in \mathbb{R}^{q \times q}\)。通过一系列的变换(我没有把握能完成这部分证明，感觉好像是对的)，可以得到：
\[ SUL = U(\sigma^2L+L^2)L \]
于是\(Su_j = (\sigma^2I + l_j^2)u_j\)，其中\(u_j\)为\(U\)的第j列，\(l_j\)为\(L\)的第j个对角线元素。因此，\(u_j\)就成了\(S\)的对应特征值\(\lambda_j = \sigma^2 + l_j^2\)的特征向量（注意到这个特征值是必须大于等于\(\sigma^2\)）。于是，有：
\[ W = U_q(K_q-\sigma^2I)^{1/2}R \]
其中：
\[ k_j = \left \{ \begin{array}{ll} \lambda_j & 对应特征值u_j \\ \sigma^2 \end{array} \right . \]
实际上就是\(k_j=\lambda_j\)
注意，上面的分析只能说明其为驻定解，事实上\(U_q\)只说明了其为\(S\)的特征向量，而没有限定是哪些特征向量。
将解\(W = U_q(K_q-\sigma^2I)^{1/2}R\)代入对数似然函数可得（\(C = WW^T+\sigma^2 I\)）：
其中\(q'\)是非零\(l_1,\ldots,l_{q'}\)的个数。
上面的是蛮好证明的，注意\(\{\cdot\}\)中第2项和第4项和为\(\ln |C|\)，第3，5项构成\(\mathrm{tr}(C^{-1}S)\)。
对\(\sigma\)求极值，可得：
且是极大值，因为显然\(\sigma \rightarrow 0\)会导致\(L \rightarrow - \infty\)。代入原式可得：
最大化上式等价于最小化下式：
注意到，上式只与被舍弃的\(l_j=0\)的\(\lambda_j\)有关，又\(\lambda_i \ge \sigma^2, i=1,\ldots, q\)，再结合(18)，可以知道最小的特征值一定是被舍弃的。但是论文说，应当是最小的\(d-q'\)个特征值作为被舍弃的（因为这些特征值必须在一块？）。
仔细想来，似然函数可以写成：
\[
L = -\frac{N}{2} \{d \ln (2\pi) + \sum \limits_{j=1}^q \ln (\lambda_j) + \frac{1}{\sigma^2}\sum \limits_{j=q+1}^d \lambda_j + (d-q)\ln (\sigma^2) + q\}
\]
好吧，还是不知道该如何证明。
代码
"""
瞎写的，测试结果很诡异啊
"""
import numpy as np
class PPCA:
def __init__(self, data, q):
self.__data = np.array(data, dtype=float)
self.__n, self.__p = data.shape
self.__mean = np.mean(self.data, 0)
self.q = q
assert q < self.__p, "Invalid q"
@property
def data(self):
return self.__data
@property
def n(self):
return self.__n
@property
def p(self):
return self.__p
def explicit(self):
data = self.data - self.__mean
S = data.T @ data / self.n
value, vector = np.linalg.eig(S)
U = vector[:, :self.q]
sigma = np.mean(value[self.q:])
newvalue = value[:self.q] - sigma
return U * newvalue
def EM(self):
data = self.data - self.__mean
S = data.T @ data / self.n
W_old = np.random.randn(self.p, self.q)
sigma = np.random.randn()
count = 0
while True:
count += 1
M = W_old.T @ W_old + sigma
M_inv = np.linalg.inv(M)
W_new = S @ W_old @ np.linalg.inv(sigma + M_inv @ W_old.T @ S @ W_old)
sigma_new = np.trace(S - S @ W_old @ M_inv @ W_new.T) / self.p
if np.sum(np.abs(W_new - W_old)) / np.sum(np.abs(W_old)) < 1e-13 and \
np.abs(sigma_new - sigma) < 1e-13:
return W_new
else:
W_old = W_new
sigma = sigma_new