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《最优控制理论与系统》-胡寿松老师-第1章-导论
第1章 导论
1.1 引言
1.2 最有控制问题
1.2.1 最优控制实例
1.2.2 最优控制问题的基本组成
（1）系统数学模型
x
˙
(
t
)
=
f
[
x
(
t
)
,
u
(
t
)
,
t
]
,
t
∈
[
t
0
,
t
f
]
\dot{x}(t) = f[x(t), u(t), t],\quad t\in[t_0, t_f]
x˙(t)=f[x(t),u(t),t],t∈[t0,tf]
（2）边界条件与目标集
为了确定要求的轨线
x
(
t
)
x(t)
x(t)，需要确定轨线的两点边界值。
Ψ
[
x
(
t
f
)
,
t
f
]
=
0
\Psi[x(t_f), t_f] = 0
Ψ[x(tf),tf]=0
（3）容许控制
针对控制向量而言。若控制向量变化范围受限制，则属于某一闭集，若控制向量变化范围不受限制，这一类控制则属于某一开集。
在属于闭集的控制中，控制向量 u ( t ) u(t) u(t) 的取值范围称为控制域，以 Ω \Omega Ω 标志。 u ( t ) ∈ Ω u(t)\in\Omega u(t)∈Ω
（4）性能指标
在控制术语中，性能指标又称为性能泛函、目标函数或代价函数。
1.2.3 最有控制问题的提法
这里对最有控制问题做了一般性的概述，使用的是数学语言。
这里有两点需要注意，就是
（1）控制不等式约束
g
[
x
(
t
)
,
u
(
t
)
,
t
]
≥
0
g[x(t), u(t), t] \ge 0
g[x(t),u(t),t]≥0 是针对
u
(
t
)
u(t)
u(t) 而言的。
（2）目标集等式的玉树
Ψ
[
x
(
t
f
)
,
t
f
]
=
0
\Psi[x(t_f), t_f] = 0
Ψ[x(tf),tf]=0 是针对
x
(
t
)
x(t)
x(t) 而言的。
1.3 性能指标类型
（1）积分型性能指标（拉格朗日问题 Lagrange）
J
=
∫
t
0
t
f
L
[
x
(
t
)
,
u
(
t
)
,
t
]
d
t
J = \int_{t_0}^{t_f} L[x(t), u(t), t] dt
J=∫t0tfL[x(t),u(t),t]dt
（2）末值型性能指标（迈耶尔问题 Mayer）
J
=
φ
[
x
(
t
f
)
,
t
f
]
J = \varphi[x(t_f), t_f]
J=φ[x(tf),tf]
（3）复合型性能指标（波尔扎问题 Bolza）
J
=
1
2
x
T
(
t
f
)
F
x
(
t
f
)
+
1
2
∫
t
0
t
f
[
x
T
(
t
)
Q
x
(
t
)
+
u
T
(
t
)
R
(
t
)
u
(
t
)
]
d
t
J = \frac{1}{2} x^T(t_f) F x(t_f) + \frac{1}{2} \int_{t_0}^{t_f} [x^T(t) Q x(t) + u^T(t) R(t) u(t)] dt
J=21xT(tf)Fx(tf)+21∫t0tf[xT(t)Qx(t)+uT(t)R(t)u(t)]dt
这里， F , Q , R F,Q,R F,Q,R 均为对称半正定矩阵，而 R R R 必须为正定矩阵。