KSP理论知识

1 动量守恒&火箭方程：齐奥尔科夫斯基公式

如下：一艘火箭，燃烧过程中，喷出燃料，加速
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喷射前火箭质量：M
喷射后喷出的燃料质量：\(\Delta\)m
喷射后火箭质量：M-\(\Delta\)m

喷射前火箭速度：V
喷射后火箭速度：V+\(\Delta\)v
喷射后喷出的燃料速度：设喷出燃料速度相对于火箭速度为-\(V_f\)，则对于地面坐标系喷出燃料速度为-\(V_f\)+V+\(\Delta\)v

动量：\(P=m\cdot v\)
动量守恒方程：\(\sum P(t_1)\)=\(\sum P(t_2)\)

由上式列出动量守恒方程
\(M\cdot V=(V+\Delta v)\cdot (M-\Delta m)+(\Delta m)\cdot (-V_f+V+\Delta v)\)
展开合并得
\(0=M\cdot \Delta v-\Delta m \cdot V_f\)

在\(M\)减少时\(\Delta m\)是增加的，所以在微分上\(d M=-d m\)
所以上式对时间变量进行微分写成\(0=M\cdot d v+d M \cdot V_f\)
我们要求速度\(dv\)的变化量，由上式变形可得\(dv=-V_f \cdot \frac{dM}{M}\)

对两侧进行积分 \(\int_0^tdv=-V_f\int_0^t\frac{1}{M}dM\)，得\(v(t)-v(0)=\Delta v=-V_f lnM(t)|_0^t=-V_f [lnM(t)-ln(0)]\)

整理得\(\Delta v = V_f ln[\frac{M(0)}{M(t)}]=V_f ln[\frac{M_{start}}{M_{end}}]=V_f ln[\frac{M_{rocket}+M_{fuel}}{M_{rocket}}]=V_f ln[1+\frac{M_{fuel}}{M_{rocket}}]\)

以上就得到齐奥尔科夫斯基公式最核心的式子\(\Delta v = V_f ln[\frac{M_0}{M_1}]\)
这个公式的意义在于，可以根据初始质量\(M_0\)和燃烧完之后的质量\(M_1\)，以及\(V_f\)来计算火箭可以达到的速度增量\(\Delta v\)。

那么关于\(V_f\)(可能有其他命名符合)即被抛出的燃料的相对速度怎么求？

ISP:specific impulse 比冲；
物理定义：燃气喷出速度。
工程定义：单位流量(1kg/s)燃料产生的推理

比冲有两种表述方式，对应不同的单位；一种是重量表述，另一种是质量表述；若为重量表述，则单位是秒s；若质量表述，如下

力 F=1N=1kg·m/s²
假设 F=100g N=100g kg·m/s²(g为重量加速度常量) \(ISP=\frac{F}{1kg/s}=\frac{100g kg·m/s²}{1kg/s}=100g m/s\)

所以齐奥尔科夫斯基公式写为\(\Delta v = ISP\cdot g_0 \cdot ln[\frac{M_0}{M_1}]=ISP\cdot g_0 \cdot ln[1+\frac{M_{fuel}}{M_{rocket}}]\)

2 轨道学

向量基础

直角坐标

\(\vec{A}=A_x\vec{e}_x+A_y\vec{e}_y+A_z\vec{e}_z\)
\(A_x=Acos\alpha\)
\(A_y=Acos\beta\)
\(A_z=Acos\gamma\)
\(\vec{A}=A\vec{e}_A\)
\(\vec{e}_A=\vec{e}_xcos\alpha+\vec{e}_ycos\beta+\vec{e}_zcos\gamma\)
\(\vec{A}=A(\vec{e}_xcos\alpha+\vec{e}_ycos\beta+\vec{e}_zcos\gamma)\)

三维向量 \(\vec{a}\)={a,b,c}，则向量的模 \(|\vec{a}|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\)
向量的加法和减法：减法：方向由减方指向被减方

矢量代换公式

1、\(\vec{A}\pm\vec{B}=\vec{e}_x(A_x\pm B_x)+\vec{e}_y(A_y\pm B_y)+\vec{e}_z(A_z\pm B_z)\)
交换律：\(\vec{A}+\vec{B}=\vec{B}+\vec{A}\)
结合律：\((\vec{A}+\vec{B})+\vec{C}=\vec{A}+(\vec{B}+\vec{C})\)

2、\(\vec{A}\cdot\vec{B}=标量=ABcos\theta=A_x B_x+A_y B_y+A_z B_z\)
交换律：\(\vec{A}\cdot\vec{B}=\vec{B}\cdot\vec{A}\)

3、\(\vec{A}\times \vec{B}=矢量=\vec{e}_nABsin\theta\)
\(\vec{A}\times \vec{B}=-\vec{B}\times \vec{A}\)
\((\vec{A} \times \vec{B})_z=A_x B_y - A_y B_x\)
\((\vec{A} \times \vec{B})_x=A_y B_z - A_z B_y\)
\((\vec{A} \times\vec{B})_y=A_z B_x - A_x B_z\)
\(\vec{A}\times \vec{B}=\vec{e}_x(A_y B_z - A_z B_y)+\vec{e}_y(A_z B_x - A_x B_z)+\vec{e}_z(A_x B_y - A_y B_x)\)
\(\vec{A}\times \vec{B}=\left| \begin{matrix} {\vec{e}_x} & {\vec{e}_y} & {\vec{e}_z}\\ {A_x} & {A_y} & {A_z}\\ {B_x} & {B_y} & {B_z} \end{matrix} \right|\)
\(\vec{A}\cdot(\vec{A} \times \vec{B})=0\)

向量的数量积（是个数量）： \(\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot cos(\vec{a},\vec{b})=a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2\)
向量的向量积（是个向量）： \(\vec{a}\times \vec{b}={\left [ \begin{array}{ccc} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k} \\a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\end{array} \right ]}=\begin{Bmatrix} \begin{bmatrix} b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} c_1 & a_1 \\ c_2 & a_2 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{bmatrix} \end{Bmatrix}\quad\)
方向：右手定则，大小：\(|\vec{a}\times \vec{b}|=|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot sin(\vec{a},\vec{b})\)

4、
\((\vec{A}+\vec{B})\cdot\vec{C}=\vec{A}\cdot\vec{C}+\vec{B}\cdot\vec{C}\)
\((\vec{A}+\vec{B})\times\vec{C}=\vec{A}\times\vec{C}+\vec{B}\times\vec{C}\)
\(\vec{A}\cdot(\vec{B}\times \vec{C})=(\vec{A} \times \vec{B})\cdot\vec{C}=(\vec{A} \times \vec{C})\cdot\vec{B}\)
\(\vec{A}\times(\vec{B} \times \vec{C})=\vec{B}(\vec{A}\cdot\vec{C})-\vec{C}(\vec{A}\cdot\vec{B})\)

证明矢量混合积：\(\vec{A}\cdot(\vec{B}\times \vec{C})=(\vec{A} \times \vec{B})\cdot\vec{C}=(\vec{A} \times \vec{C})\cdot\vec{B}\)

矢量模值求导：\(\frac{d|\vec{r}|}{dt}\)

\(\frac{d|\vec{r}|}{dt}=\frac{d\sqrt{\vec{r}\cdot \vec{r}}}{dt}=(\sqrt{\vec{r}\cdot \vec{r}})'=\frac{1}{2}(\vec{r}\cdot \vec{r})^{-\frac{1}{2}}\cdot 2\vec{r}\cdot \frac{d\vec{r}}{dt}=\frac{\vec{r}}{\sqrt{\vec{r}\cdot \vec{r}}} \frac{d\vec{r}}{dt}=\frac{\vec{r}}{|\vec{r}|} \frac{d\vec{r}}{dt}\)

证明矢量三重积： \(\vec{A}\times(\vec{B} \times \vec{C})=\vec{B}(\vec{A}\cdot\vec{C})-\vec{C}(\vec{A}\cdot\vec{B})\)

矢量微分

矢量点乘微分： \(d(\vec{f}\cdot \vec{g})=d\vec{f} \cdot \vec{g}+\vec{f}\cdot d\vec{g}\)

矢量叉乘微分：\(d(\vec{f}\times \vec{g})=d\vec{f} \times \vec{g}+\vec{f}\times d\vec{g}\)

证明略

牛顿莱布尼茨公式

\(F(b)-F(a)=\int_a^b f(x)dx,F(x)为f(x)原函数\)

证明: 介值定理=>积分中值定理=>积分基本定理=>N-L公式

介值定理：\(f(x)\in c[a,b],\forall \eta \in [m,M],\exists\xi \in [a,b],f(\xi)=\eta\)

积分中值定理：\(f(x)\in c[a,b],\exists \in [a,b],使\int_a^bf(x)dx=f(\xi)(b-a)\)

积分基本定理：\((\int_a^x f(t)dt)'=f(x)\)

牛顿-莱布尼茨公式：\(F(b)-F(a)=\int_a^b f(x)dx,F(x)为f(x)原函数\)

椭圆预备知识

椭圆方程：\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1\)
焦点：\(c\) ，离心率：\(e=\frac{c}{a}\)

椭圆第二定律：椭圆上的任意一点到焦点的距离与该点到一条定直线的距离的比是一个常数e。那条定直线方程为\(x=±\frac{a^2}{c}\)

椭圆面积：直接用二重积分求第一象限的面积的四倍

先将方程\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1\)展开为解析式
\(y^2=b^2(1-\frac{x^2}{a^2})=\frac{b^2}{a^2}(a^2-x^2)\)
\(y=\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}\)

\(S=4\int\int_{D1}d\sigma=4\int_0^adx\int_0^{\frac{a}{b}\sqrt{a^2-x^2}}dy=4\frac{b}{a}\int_0^a\sqrt{a^2-x^2}dx\)
三角换元得\(4\frac{b}{a}\int_{\frac{\pi}{2}}^0 a^2sint (-sint)dt=4ab\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (sint)^2dt=4ab\frac{1}{2}\frac{\pi}{2}=ab\pi\)

向心加速度&万有引力

向心加速度的推导\(a=\frac{V^2}{R}\)

如上所示，运用微分和相似三角形可以推出向心加速度的公式\(a=\frac{V^2}{R}\)

具体过程，假设圆上的一个点绕圆形旋转了一个角度，沿着前后两个点的切线即两个速度矢量\(V_A和V_B\)，这个矢量的变化为\(\Delta V\)，绕过的弧线为\(\Delta S\)，半径为\(R\)，在\(\Delta V\)趋向0即微分情况下，\(\Delta S\)可近似为直线，则两个三角形可看做相似三角形，即满足\(\frac{\Delta V}{V}=\frac{\Delta S}{R}\)，根据加速度的定义\(a=\frac{\Delta V}{\Delta t}\)（方向指向圆心），代入可得\(a=\frac{\Delta S}{\Delta t}\frac{V}{R}=\frac{V^2}{R}\)

万有引力的推导（用到开普勒第三定律\(\frac{R^3}{T^2}=K\)）

根据牛顿力学公式\(F=ma=m\frac{V^2}{R}\)

天体运动的速度一般用周期T进行代换，即\(V=\frac{2\pi R}{T}\)，代入上式得\(F=\frac{4{\pi}^2mR}{T^2}\)

用开普勒第三定律\(T^2=\frac{R^3}{K}\)代换得\(F=4{\pi}^2mR\cdot \frac{K}{R^3}=\frac{4{\pi}^2mK}{R^2}\)

除了R之外都是常量，由于是两个星体作用，所以可以简写成\(F\propto \frac{Mm}{R^2}\)，则万有引力公式为\(F=G \frac{Mm}{R^2}\)，其中G为常量，科学家测出G=6.67259×10N·m²/kg²

轨道机械能守恒

机械能=动能+势能
势能=重力做功

物体做功：\(W=F\cdot L\)

势能=重力做功\(E_P=-\int_a^\infty FdR=-GmM\int_a^\infty \frac{1}{R^2}dR=GmM(-\frac{1}{R})|_a^\infty=-GMm(-\frac{1}{\infty}+\frac{1}{a})=-\frac{GmM}{a}\)

动能\(E_K=\frac{1}{2}mv^2\)

机械能\(E=E_K+E_P=\frac{1}{2}mv^2-\frac{GmM}{a}\)

证明机械能\(E\)为常量

a为矢径，为\(\vec{r}\)的模
\(\vec{r}\)定义为方向是中心天体指向围绕天体，大小是中心到围绕距离的矢量

对上式的时间进行求导

\(\frac{d E}{dt}=\frac{d (\frac{1}{2}mv^2-\frac{GmM}{a})}{d t}\)

将矢量展开\(\frac{d E}{dt}=\frac{d (\frac{1}{2}m(\frac{d\vec{r}}{dt})^2-\frac{GmM}{|\vec{r}|})}{d t}=\frac{1}{2}m\cdot 2\frac{d\vec{r}}{dt}\frac{d^2\vec{r}}{dt^2}-GmM(\frac{1}{|\vec{r}|})'\)
\((\frac{1}{|\vec{r}|})'=\frac{-\frac{d|\vec{r}|}{dt}}{|\vec{r}|^2}\)，代入矢量模值求导的结论\(\frac{d|\vec{r}|}{dt}=\frac{\vec{r}}{|\vec{r}|} \frac{d\vec{r}}{dt}\)得\((\frac{1}{|\vec{r}|})'=-\frac{\vec{r}}{|\vec{r}|^3} \frac{d\vec{r}}{dt}\)，再次代入上式\(\frac{d E}{dt}=m\cdot \frac{d\vec{r}}{dt}\frac{d^2\vec{r}}{dt^2}+GmM\frac{\vec{r}}{|\vec{r}|^3} \frac{d\vec{r}}{dt}'\)

万有引力引入矢量(加速度方向指向中心天体,\(\vec{r}\)是指向围绕天体)得\(\vec{F}=-G \frac{Mm}{\vec{r}^2}\frac{\vec{r}}{|\vec{r}|}=m\vec{a}\)，\(\vec{a}=\frac{d^2\vec{r}}{dt^2}=-\frac{GM\vec{r}}{|\vec{r}|^3}\)，代入到机械能公式中，得\(\frac{d E}{dt}=m\cdot \frac{d\vec{r}}{dt}(-\frac{GM\vec{r}}{|\vec{r}|^3})+GmM\frac{\vec{r}}{|\vec{r}|^3} \frac{d\vec{r}}{dt}'=0\)，所以天体运动机械能守恒。

机械能守恒：1.重力势能和动能互相转化 2.不受外力，机械能不变。

轨道恒在一个平面上

证明：轨道恒在一个平面上

角动量\(\vec{\rho}=m\cdot \vec{r}\times \vec{v}\)
对角动量进行求导\(\frac{d\vec{\rho}}{dt}=m\cdot \frac{d(\vec{r}\times \vec{v})}{dt}=m\cdot \frac{d\vec{r}}{dt}\times \frac{d\vec{r}}{dt}+m\cdot \vec{r}\times \frac{d^2\vec{r}}{dt^2}=0+m\cdot \vec{r}\times (-\frac{GM\vec{r}}{|\vec{r}|^3})=0\)(叉乘同向为0)，所以角动量守恒。
\(\vec{\rho}\)垂直\(\vec{r}\times \vec{v}\)，而上面证得\(\vec{\rho}\)不变，所以\(\vec{r}\times \vec{v}\)每时每刻都在同一个平面上

开普勒定律

开普勒第二定律

对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积

开普勒第一定律

所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆

开普勒第三定律

所有行星轨道的半长轴的三次方和他的公转周期的二次方的比值都相等

入轨和轨道

sub-orbit 亚轨道 : 高点在卡门线以外，低点在卡门线以内
karman line卡门线 : 大气和真空的分界点，地球为100K，坎星为70K
transfer-orbit 转移轨道