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1、能量转化与守恒定律
假设空间中只有一个电子，有一外非电磁力作用于电子，使其在
d
t
dt
dt时间内运动距离
d
l
⃗
d\vec{l}
dl
，根据牛顿第二定律：
F
⃗
非
电
磁
+
F
⃗
电
磁
=
m
a
⃗
(1)
\vec{F}_{非电磁} + \vec{F}_{电磁} = m\vec{a} \tag{1}
F
非电磁+F
电磁=ma
(1)
其中
F
⃗
电
磁
\vec{F}_{电磁}
F
电磁代表电子产生的电磁场对自己产生的可能的作用！如果电子是静止状态或者匀速直线运动状态，那么电子仍然能保持这种运动状态，所以电子在静止和匀速直线运动时，电子产生的电磁场对电子自身没有作用力。通常情况下，电子产生的电磁场对电子自身的作用：
F
⃗
电
磁
=
−
e
(
E
⃗
+
v
⃗
×
B
⃗
)
(2)
\vec{F}_{电磁} = -e(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B}) \tag{2}
F
电磁=−e(E
+v
×B
)(2)
电子产生的电磁场在距离的平方成反比，所以电子产生的电磁场在电子自身所在位置是无穷大。考虑电磁场的能量转化与守恒定律：
−
∮
V
d
σ
⃗
⋅
S
⃗
=
∫
V
d
V
f
⃗
电
磁
⋅
v
⃗
+
d
d
t
∫
V
d
V
w
(3)
-\oint_{V}d\vec{\sigma} \cdot \vec{S} = \int_V dV \vec{f}_{电磁}\cdot\vec{v} + \frac{d}{dt} \int_V dV w \tag{3}
−∮Vdσ
⋅S
=∫VdVf
电磁⋅v
+dtd∫VdVw(3)
上式中等号左边为流入流出的电磁能量，等号右边的第一项为电子自身产生的电磁场对电子做功的功率，等号右边的第二项为电磁能量的变化。无法直接计算电子产生的电磁场对电子本身的反作用，但是只要承认能量守恒定律(3)是成立的，那么
f
⃗
电
磁
\vec{f}_{电磁}
f
电磁项就可以通过另外两项来表达，从而回避了无穷大。将式(1)写为：
(
F
⃗
非
电
磁
−
m
a
⃗
)
⋅
d
l
⃗
=
−
F
⃗
电
磁
⋅
d
l
⃗
=
−
∫
d
V
f
⃗
电
磁
⋅
d
l
⃗
=
d
W
自
+
∮
d
σ
⃗
⋅
S
⃗
d
t
(4)
(\vec{F}_{非电磁} - m\vec{a})\cdot d\vec{l} = - \vec{F}_{电磁}\cdot d\vec{l} = -\int dV \vec{f}_{电磁}\cdot d\vec{l} = dW_{自} + \oint d\vec{\sigma} \cdot \vec{S} dt \tag{4}
(F
非电磁−ma
)⋅dl
=−F
电磁⋅dl
=−∫dVf
电磁⋅dl
=dW自+∮dσ
⋅S
dt(4)
其中
W
自
W_{自}
W自为空间中电磁场能量：
W
自
=
∫
∞
d
V
1
2
(
ϵ
0
E
2
+
1
μ
0
B
2
)
(5)
W_{自} = \int_{\infty} dV \frac{1}{2}(\epsilon_0 E^2 + \frac{1}{\mu_0}B^2) \tag{5}
W自=∫∞dV21(ϵ0E2+μ01B2)(5)
定义辐射场能量：
d
W
辐
≡
∮
∞
d
σ
⃗
⋅
S
⃗
d
t
=
∫
t
1
t
2
d
t
I
(6)
dW_{辐} \equiv \oint_{\infty} d\vec{\sigma} \cdot \vec{S} dt = \int_{t_1}^{t_2} dt I \tag{6}
dW辐≡∮∞dσ
⋅S
dt=∫t1t2dtI(6)
只有辐射场能量在无穷远处有贡献。那么式(4)就可以写为：
d
W
电
磁
=
d
W
自
+
d
W
辐
(7)
dW_{电磁} = dW_{自} + dW_{辐} \tag{7}
dW电磁=dW自+dW辐(7)
即电子运动产生的电磁场造成的能量变化。以上的讨论中，包含了带电粒子的自相互作用（自己受自己产生的场的作用力），对不带电粒子：
d
W
电
磁
=
0
⟹
F
⃗
非
电
磁
=
m
a
⃗
(8)
dW_{电磁} = 0 \Longrightarrow \vec{F}_{非电磁} = m\vec{a} \tag{8}
dW电磁=0⟹F
非电磁=ma
(8)
对带电粒子：
d
W
电
磁
≠
0
⟹
(
F
⃗
非
电
磁
−
m
a
⃗
)
⋅
d
l
⃗
=
d
W
电
磁
=
d
W
自
+
d
W
辐
(9)
dW_{电磁} \neq 0 \Longrightarrow (\vec{F}_{非电磁} - m\vec{a}) \cdot d\vec{l} = dW_{电磁} = dW_{自} + dW_{辐} \tag{9}
dW电磁=0⟹(F
非电磁−ma
)⋅dl
=dW电磁=dW自+dW辐(9)
2、电子的经典运动方程
假设电子是半径为
r
0
r_0
r0的一个球，电荷均匀分布在其中，那么电荷密度为：
ρ
=
−
e
4
3
π
r
0
3
(10)
\rho = \frac{-e}{\frac{4}{3}\pi r_0^3} \tag{10}
ρ=34πr03−e(10)
在静止系（
S
′
S'
S′系，即站在电子上看），高斯定理为：
$$
4\pi r^2 E’ = \left {
\begin{aligned}
\frac{\rho}{\epsilon_0} \frac{4}{3}\pi r^3 \ \ \ \ \ & r\leq r_0 \
- \frac{e}{\epsilon_0} \ \ \ \ \ & r > r_0
\end{aligned}
\right.
\tag{11}
此 时 的 电 场 强 度 为 ： 此时的电场强度为： 此时的电场强度为：
\vec{E}’ = \left {
\begin{aligned} - \frac{er}{4\pi\epsilon_0r_0^3}\vec{e}r \ \ \ \ \ & r\leq r_0 \
-\frac{e}{4\pi\epsilon_0r^2}\vec{e}r \ \ \ \ \ & r > r_0
\end{aligned}
\right.
\tag{12}
KaTeX parse error: Can't use function '$' in math mode at position 7: 在运动系（$̲S$系），电场强度的洛伦兹变换…
\left {
\begin{aligned}
& E_x = E_x’ \
& E_y = \gamma E_y’ \
& E_z = \gamma E_z’
\end{aligned}
\right.
\tag{13}
其 中 其中 其中
\gamma \equiv \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v2}{c2}}} \tag{14}
KaTeX parse error: Can't use function '$' in math mode at position 2: $̲v$为电子的运动速度。磁感应强…
\left {
\begin{aligned}
& B_x = 0 \
& B_y = \gamma \frac{v}{c^2} E_z’ \
& B_z = -\gamma \frac{v}{c^2} E_y’
\end{aligned}
\right.
\tag{15}
KaTeX parse error: Can't use function '$' in math mode at position 3: 在$̲S$系中，电磁场能量为：
W{自} = W_e + W_b = \int dxdydz \ (\frac{\epsilon_0}{2} E^2 + \frac{1}{2\mu_0}B^2) \tag{16}
坐 标 的 洛 伦 兹 变 换 为 ： 坐标的洛伦兹变换为： 坐标的洛伦兹变换为：
dx’ = \gamma dx, \ \ \ dy’ = dy, \ \ \ dz’ = dz \tag{17}
KaTeX parse error: Can't use function '$' in math mode at position 2: $̲S$系同时测得的能量为：
\begin{aligned}
W{自} & = \int dx’dy’dz’ \frac{1}{\gamma} [\frac{\epsilon_0}{2}(E_x’^2 + \gamma^2 E_y’^2 + \gamma^2 E_z’^2) + \frac{1}{2\mu_0} (\gamma^2 \frac{v2}{c4} E_z’^2 + \gamma^2 \frac{v2}{c4} E_y’^2)] \
& = \frac{1}{\gamma} [1 + 2\gamma^2 (1+\frac{v2}{c2})]\frac{\epsilon_0}{2} \int dx’dy’dz’ E_x’^2 \
& = \frac{1}{3}W_e’ \frac{3 + \frac{v2}{c2}}{\sqrt{1-\frac{v2}{c2}}}
\end{aligned}
\tag{18}
$$
式(18)给出了静止坐标系下和运动坐标系下电磁场的总能量之间的关系。式(18)中，
E
x
′
,
E
y
′
,
E
z
′
E_x',\ E_y',\ E_z'
Ex′, Ey′, Ez′是在静止坐标系下的电场，在静止坐标系下电场是球对称的：
E
x
′
2
=
E
y
′
2
=
E
z
′
2
(19)
E_x'^2 = E_y'^2 = E_z'^2 \tag{19}
Ex′2=Ey′2=Ez′2(19)
进一步，在静止坐标系下，如果电场的下标不一样：
ϵ
0
2
d
x
′
d
y
′
d
z
′
E
i
′
E
j
′
=
1
3
δ
i
j
ϵ
0
2
∫
d
x
′
d
y
′
d
z
′
E
′
2
=
1
3
δ
i
j
W
e
′
(20)
\frac{\epsilon_0}{2} dx'dy'dz' E'_iE'_j = \frac{1}{3} \delta_{ij} \frac{\epsilon_0}{2} \int dx' dy' dz' E'^2 = \frac{1}{3} \delta_{ij} W_e' \tag{20}
2ϵ0dx′dy′dz′Ei′Ej′=31δij2ϵ0∫dx′dy′dz′E′2=31δijWe′(20)
在静止系下，电场的能量为：
W
e
′
=
∫
d
x
′
d
y
′
d
z
′
ϵ
0
2
E
′
2
=
ϵ
0
2
4
π
[
∫
0
r
0
d
r
r
2
(
e
r
4
π
ϵ
0
r
0
3
)
2
+
∫
r
0
∞
d
r
r
2
(
e
4
π
ϵ
0
r
2
)
2
]
=
e
2
8
π
ϵ
0
[
∫
0
r
0
d
r
r
4
r
0
6
+
∫
r
0
∞
d
r
1
r
2
]
=
e
2
8
π
ϵ
0
(
1
5
r
0
+
1
r
0
)
=
3
20
π
ϵ
0
e
2
r
0
(21)
\begin{aligned} W_e' & = \int dx'dy'dz' \frac{\epsilon_0}{2}E'^2 \\ & = \frac{\epsilon_0}{2} 4\pi [\int_0^{r_0} dr \ r^2 (\frac{er}{4\pi\epsilon_0r_0^3})^2 + \int_{r_0}^{\infty} dr \ r^2 (\frac{e}{4\pi\epsilon_0r^2})^2] \\ & = \frac{e^2}{8\pi\epsilon_0} [\int_0^{r_0} dr\ \frac{r^4}{r_0^6} + \int_{r_0}^{\infty} dr\ \frac{1}{r^2}] \\ & = \frac{e^2}{8\pi\epsilon_0} (\frac{1}{5r_0} + \frac{1}{r_0}) \\ & = \frac{3}{20\pi\epsilon_0} \frac{e^2}{r_0} \end{aligned} \tag{21}
We′=∫dx′dy′dz′2ϵ0E′2=2ϵ04π[∫0r0dr r2(4πϵ0r03er)2+∫r0∞dr r2(4πϵ0r2e)2]=8πϵ0e2[∫0r0dr r06r4+∫r0∞dr r21]=8πϵ0e2(5r01+r01)=20πϵ03r0e2(21)
在式(18)中，当速度存在一个微小的变化时，引起的电磁场能量的变化为：
d
W
自
=
1
3
c
2
W
e
′
5
+
v
2
c
2
1
−
v
2
c
2
3
v
⃗
⋅
a
⃗
d
t
(22)
dW_{自} = \frac{1}{3c^2} W_e' \frac{5 + \frac{v^2}{c^2}}{\sqrt[3]{1-\frac{v^2}{c^2}}}\vec{v}\cdot \vec{a}dt \tag{22}
dW自=3c21We′31−c2v2
5+c2v2v
⋅a
dt(22)
根据式(6)及运动带电粒子的电磁场中的式(51)，辐射场的能量为：
W
辐
=
∫
t
1
t
2
d
t
μ
0
6
π
c
e
2
a
2
=
∫
t
1
t
2
μ
0
6
π
c
e
2
a
⃗
⋅
d
v
⃗
=
μ
0
e
2
6
π
c
[
v
⃗
⋅
a
⃗
∣
t
1
t
2
−
∫
t
1
t
2
d
t
v
⃗
⋅
a
⃗
˙
]
(23)
W_{辐} = \int_{t_1}^{t_2} dt \frac{\mu_0}{6\pi c} e^2 a^2 = \int_{t_1}^{t_2} \frac{\mu_0}{6\pi c} e^2 \vec{a} \cdot d\vec{v} = \frac{\mu_0 e^2}{6\pi c} [\vec{v}\cdot\vec{a} |_{t_1}^{t_2} - \int_{t_1}^{t_2} dt \vec{v}\cdot \dot{\vec{a}}] \tag{23}
W辐=∫t1t2dt6πcμ0e2a2=∫t1t26πcμ0e2a
⋅dv
=6πcμ0e2[v
⋅a
∣t1t2−∫t1t2dtv
⋅a
˙](23)
考虑电子运动一圈回到原来位置的情况：
v
⃗
⋅
a
⃗
∣
t
1
t
2
=
0
(24)
\vec{v} \cdot \vec{a} |_{t_1}^{t_2} = 0 \tag{24}
v
⋅a
∣t1t2=0(24)
那么辐射场的变化为：
d
W
辐
=
−
μ
0
e
2
6
π
c
v
⃗
⋅
a
⃗
˙
d
t
(25)
dW_{辐} = - \frac{\mu_0e^2}{6\pi c} \vec{v} \cdot \dot{\vec{a}}dt \tag{25}
dW辐=−6πcμ0e2v
⋅a
˙dt(25)
比较式(22)和式(25)，它们的结构是类似的，都含有
v
⃗
⋅
\vec{v}\cdot
v
⋅这一部分。式(9)中，
d
l
⃗
=
v
⃗
d
t
d\vec{l} = \vec{v}dt
dl
=v
dt，将式(22)和式(25)的结果代入式(9)，得到：
(
F
⃗
非
电
磁
−
m
a
⃗
)
⋅
v
⃗
d
t
⃗
=
1
3
c
2
W
e
′
5
+
v
2
c
2
1
−
v
2
c
2
3
v
⃗
⋅
a
⃗
d
t
−
μ
0
e
2
6
π
c
v
⃗
⋅
a
⃗
˙
d
t
(\vec{F}_{非电磁} - m\vec{a}) \cdot \vec{v} d\vec{t} = \frac{1}{3c^2} W_e' \frac{5 + \frac{v^2}{c^2}}{\sqrt[3]{1-\frac{v^2}{c^2}}}\vec{v}\cdot \vec{a}dt - \frac{\mu_0e^2}{6\pi c} \vec{v} \cdot \dot{\vec{a}}dt
(F
非电磁−ma
)⋅v
dt
=3c21We′31−c2v2
5+c2v2v
⋅a
dt−6πcμ0e2v
⋅a
˙dt
将
v
⃗
⋅
\vec{v}\cdot
v
⋅和
d
t
dt
dt去掉，得到：
F
⃗
非
电
磁
+
F
⃗
s
=
(
m
+
1
3
c
2
W
e
′
5
+
v
2
c
2
1
−
v
2
c
2
3
)
a
⃗
(26)
\vec{F}_{非电磁} + \vec{F}_s = (m + \frac{1}{3c^2}W_e' \frac{5 + \frac{v^2}{c^2}}{\sqrt[3]{1-\frac{v^2}{c^2}}}) \vec{a} \tag{26}
F
非电磁+F
s=(m+3c21We′31−c2v2
5+c2v2)a
(26)
上式即考虑了电子的自作用后，电子的经典运动方程。其中：
F
⃗
s
=
μ
0
e
2
6
π
c
a
⃗
˙
(27)
\vec{F}_s = \frac{\mu_0 e^2}{6\pi c} \dot{\vec{a}} \tag{27}
F
s=6πcμ0e2a
˙(27)
3、电磁质量与辐射阻尼力
略去相对论效应，即考虑
v
≪
c
v \ll c
v≪c的情形，那么式(26)写为：
F
⃗
非
电
磁
+
F
⃗
s
=
(
m
+
5
3
c
2
W
e
′
)
a
⃗
(28)
\vec{F}_{非电磁} + \vec{F}_s = (m + \frac{5}{3c^2}W_e') \vec{a} \tag{28}
F
非电磁+F
s=(m+3c25We′)a
(28)
定义有效质量：
m
e
=
m
+
5
3
c
2
W
e
′
(29)
m_e = m + \frac{5}{3c^2} W_e' \tag{29}
me=m+3c25We′(29)
其中
5
3
c
2
W
e
′
\frac{5}{3c^2}W_e'
3c25We′是静止电子的电场能在运动起来后对质量的贡献，称为电子的电磁质量。即推动电子运动的时候，不仅要使电子运动起来，还要使电子所激发的电磁场运动起来。电磁质量由那部分与电子无法分开的电场形成，这部分能量无法从电子的运动能量中分离出去。实验上观察到的电子质量应有相当部分是电磁质量：
m
e
∼
5
3
c
2
W
e
′
=
=
=
=
=
=
=
=
W
e
′
=
3
20
π
ϵ
0
e
2
r
0
μ
0
4
π
e
2
r
0
→
r
e
≡
μ
0
e
2
4
π
m
e
≈
2.817
×
1
0
−
15
m
⇐
电
子
的
经
典
半
径
(30)
m_e \sim \frac{5}{3c^2} W_e' \overset{W_e' = \frac{3}{20\pi\epsilon_0}\frac{e^2}{r_0}}{========} \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{e^2}{r_0} \to r_e \equiv \frac{\mu_0e^2}{4\pi m_e} \approx 2.817\times 10^{-15} m \Leftarrow 电子的经典半径 \tag{30}
me∼3c25We′========We′=20πϵ03r0e24πμ0r0e2→re≡4πmeμ0e2≈2.817×10−15m⇐电子的经典半径(30)
目前还没办法区分电子的电磁质量和非电磁质量。式(30)得出的电子的经典半径
r
e
r_e
re，要求测量到的电子质量中绝大部分是电子的电磁质量。核子尺度为
1
0
−
13
m
10^{-13}m
10−13m的量级，原子的Bohr半径为
0.5
×
1
0
−
10
m
0.5\times 10^{-10}m
0.5×10−10m，对比电子可以看到，电子是非常小的粒子。另外两个尺度：康普顿波长
L
e
≡
h
m
e
c
≈
3.9
×
1
0
−
15
m
L_e \equiv \frac{h}{m_ec} \approx 3.9\times 10^{-15}m
Le≡mech≈3.9×10−15m，施瓦茨半径
R
e
=
2
G
m
e
c
4
≈
1.4
×
1
0
−
57
m
R_e = \frac{2Gm_e}{c^4} \approx 1.4\times 10^{-57}m
Re=c42Gme≈1.4×10−57m。康普顿波长
L
e
L_e
Le是光子和电子散射产生的，其波长和电子半径是差不多的。引力产生黑洞的半径，即施瓦茨半径，就要比电子半径小很多了。
4、谱线的自然宽度
接下来考虑
F
⃗
s
\vec{F}_s
F
s的贡献，
F
⃗
s
\vec{F}_s
F
s称为辐射反冲力，即电子辐射电磁场，自身受到反冲。考虑半经典的原子发光模型：电子均匀分布于原子内，原子核处于电子云中心位置。当原子受外界作用激发后，原子核偏离电子云中心位置
r
⃗
0
(
t
)
\vec{r}_0(t)
r
0(t)，原子核与电子云中心之间产生一弹性恢复力：
f
⃗
=
−
e
E
⃗
=
−
e
ρ
r
⃗
0
(
t
)
3
ϵ
0
≡
−
m
e
ω
0
2
r
⃗
0
(
t
)
(31)
\vec{f} = -e\vec{E} = - \frac{e\rho \vec{r}_0(t)}{3\epsilon_0} \equiv -m_e \omega_0^2 \vec{r}_0(t) \tag{31}
f
=−eE
=−3ϵ0eρr
0(t)≡−meω02r
0(t)(31)
使电子做加速运动（谐振动）而辐射发光。其中：
ω
0
2
=
e
ρ
3
ϵ
0
m
e
=
e
2
4
π
ϵ
0
m
e
r
0
3
(32)
\omega_0^2 = \frac{e\rho}{3\epsilon_0m_e} = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0m_er_0^3} \tag{32}
ω02=3ϵ0meeρ=4πϵ0mer03e2(32)
实验上看到的发光不是单频率，而是有一定的频率分布宽度，在光谱中表现为原子发光的谱线有一定的自然宽度。方程(26)可以写为：
KaTeX parse error: Undefined control sequence: \dddot at position 58: …0e^2}{6\pi c}\ \̲d̲d̲d̲o̲t̲{\vec{r}}_0(t) …
上式中解的形式为：
r
⃗
0
(
t
)
=
r
⃗
0
(
0
)
e
−
i
ω
t
(34)
\vec{r}_0(t) = \vec{r}_0(0) e^{-i\omega t} \tag{34}
r
0(t)=r
0(0)e−iωt(34)
将上式代入到方程(33)，得到：
−
m
e
ω
0
2
+
μ
0
e
2
6
π
c
(
−
i
)
3
ω
3
=
−
m
e
ω
2
(35)
-m_e \omega_0^2 + \frac{\mu_0 e^2}{6\pi c} (-i)^3 \omega^3 = -m_e\omega^2 \tag{35}
−meω02+6πcμ0e2(−i)3ω3=−meω2(35)
其中：
ω
2
=
ω
0
2
−
i
μ
0
e
2
6
π
c
m
e
ω
3
(36)
\omega^2 = \omega_0^2 - \frac{i\mu_0e^2}{6\pi cm_e}\omega^3 \tag{36}
ω2=ω02−6πcmeiμ0e2ω3(36)
上式中第一项为弹性恢复力导致的振动频率，即式(32)，第二项为辐射反冲力导致的振动频率：
ω
=
{
ω
0
不
考
虑
辐
射
反
冲
ω
0
−
i
Γ
2
考
虑
辐
射
反
冲
(37)
\omega = \left \{ \begin{aligned} \omega_0 \ \ \ \ \ & 不考虑辐射反冲 \\ \omega_0 - \frac{i\Gamma}{2} \ \ \ \ \ & 考虑辐射反冲 \end{aligned} \right. \tag{37}
ω=⎩⎨⎧ω0 ω0−2iΓ 不考虑辐射反冲考虑辐射反冲(37)
当辐射反问导致的频率远远小于弹性恢复导致的频率时，可以将弹性恢复力导致的频率略去，此时就是简谐振动。 上式中：
Γ
≡
μ
0
e
2
ω
0
6
π
c
m
e
(38)
\Gamma \equiv \frac{\mu_0e^2\omega_0}{6\pi cm_e} \tag{38}
Γ≡6πcmeμ0e2ω0(38)
上式即辐射反冲效应。式(37)的结果依赖于
ω
0
\omega_0
ω0怎么计算，费曼用氢原子电离能
m
e
e
4
2
ℏ
2
=
13.6
e
V
=
ℏ
ω
0
(39)
\frac{m_e e^4}{2\hbar^2} = 13.6eV = \hbar \omega_0 \tag{39}
2ℏ2mee4=13.6eV=ℏω0(39)
来估计
ω
0
\omega_0
ω0。如果不频率辐射反冲，那么产生的振荡就是简谐振荡，原子发出的光就是单一频率的光。考虑辐射反冲，还会增加一个虚部。考虑辐射反冲，将式(37)代入到式(34)中：
r
⃗
0
(
t
)
=
r
⃗
0
(
0
)
e
−
Γ
2
t
e
−
i
ω
0
t
(40)
\vec{r}_0(t) = \vec{r}_0(0) e^{-\frac{\Gamma}{2}t} e^{-i\omega_0 t} \tag{40}
r
0(t)=r
0(0)e−2Γte−iω0t(40)
加速度为：
a
⃗
(
t
)
=
a
⃗
(
0
)
e
−
Γ
2
t
e
−
i
ω
0
t
(41)
\vec{a}(t) = \vec{a}(0) e^{-\frac{\Gamma}{2}t} e^{-i\omega_0 t} \tag{41}
a
(t)=a
(0)e−2Γte−iω0t(41)
其中
a
⃗
(
0
)
=
−
ω
2
r
⃗
0
(
0
)
(42)
\vec{a}(0) = -\omega^2\vec{r}_0(0) \tag{42}
a
(0)=−ω2r
0(0)(42)
一个带电粒子产生的辐射磁场（见辐射电磁场中的式(11)）为：
B
⃗
(
r
⃗
,
t
)
=
e
μ
0
4
π
c
r
a
⃗
(
t
∗
)
×
n
⃗
(43)
\vec{B}(\vec{r}, t) = \frac{e\mu_0}{4\pi cr} \vec{a}(t^*) \times \vec{n} \tag{43}
B
(r
,t)=4πcreμ0a
(t∗)×n
(43)
产生的辐射电场为：
E
⃗
(
r
⃗
,
t
)
=
c
B
⃗
(
r
⃗
,
t
)
×
n
⃗
=
e
μ
0
4
π
r
[
a
⃗
(
t
∗
)
×
n
⃗
]
×
n
⃗
=
e
μ
0
4
π
r
[
a
⃗
(
t
∗
)
⋅
n
⃗
n
⃗
−
a
⃗
(
t
∗
)
]
=
e
μ
0
4
π
r
[
a
⃗
(
0
)
⋅
n
⃗
n
⃗
−
a
⃗
(
0
)
]
e
i
ω
Γ
c
e
−
i
ω
t
=
E
⃗
(
r
⃗
,
0
)
e
−
i
ω
t
(44)
\begin{aligned} \vec{E}(\vec{r},t) & = c\vec{B}(\vec{r},t)\times \vec{n} \\ & = \frac{e\mu_0}{4\pi r} [\vec{a}(t^*) \times \vec{n}] \times \vec{n} \\ & = \frac{e\mu_0}{4\pi r} [\vec{a}(t^*) \cdot \vec{n}\vec{n} - \vec{a}(t^*)] \\ & = \frac{e\mu_0}{4\pi r} [\vec{a}(0) \cdot \vec{n}\vec{n} - \vec{a}(0)] e^{i\frac{\omega\Gamma}{c}}e^{-i\omega t} \\ & = \vec{E}(\vec{r}, 0) e^{-i\omega t} \end{aligned} \tag{44}
E
(r
,t)=cB
(r
,t)×n
=4πreμ0[a
(t∗)×n
]×n
=4πreμ0[a
(t∗)⋅n
n
−a
(t∗)]=4πreμ0[a
(0)⋅n
n
−a
(0)]eicωΓe−iωt=E
(r
,0)e−iωt(44)
其中
E
⃗
(
r
⃗
,
0
)
≡
e
μ
0
4
π
r
[
a
⃗
(
0
)
⋅
n
⃗
n
⃗
−
a
⃗
(
0
)
]
e
i
ω
Γ
c
=
e
μ
0
ω
2
4
π
r
[
r
⃗
0
(
0
)
⋅
n
⃗
n
⃗
−
r
⃗
0
(
0
)
]
e
i
ω
Γ
c
(45)
\vec{E}(\vec{r}, 0) \equiv \frac{e\mu_0}{4\pi r} [\vec{a}(0) \cdot \vec{n}\vec{n} - \vec{a}(0)] e^{i\frac{\omega\Gamma}{c}} = \frac{e\mu_0 \omega^2}{4\pi r} [\vec{r}_0(0) \cdot \vec{n}\vec{n} - \vec{r}_0(0)] e^{i\frac{\omega\Gamma}{c}} \tag{45}
E
(r
,0)≡4πreμ0[a
(0)⋅n
n
−a
(0)]eicωΓ=4πreμ0ω2[r
0(0)⋅n
n
−r
0(0)]eicωΓ(45)
假设
t
=
0
t=0
t=0开始有振荡，式(44)写成傅里叶变换的形式：
E
⃗
(
r
⃗
,
t
)
=
{
0
t
<
0
E
⃗
(
r
⃗
,
0
)
e
−
i
ω
t
t
≥
0
=
∫
−
∞
∞
d
ω
′
E
⃗
ω
′
e
−
i
ω
′
t
(46)
\vec{E}(\vec{r},t) = \left \{ \begin{aligned} 0 \ \ \ \ \ & t < 0 \\ \vec{E}(\vec{r}, 0) e^{-i\omega t} \ \ \ \ \ & t \ge 0 \end{aligned} \right. \ \ \ \ \ = \int_{-\infty}^{\infty} d\omega' \vec{E}_{\omega'} e^{-i\omega' t} \tag{46}
E
(r
,t)={0 E
(r
,0)e−iωt t<0t≥0 =∫−∞∞dω′E
ω′e−iω′t(46)
频率空间的电场为
E
⃗
ω
′
=
1
2
π
∫
−
∞
∞
d
t
E
⃗
(
r
⃗
,
t
)
e
i
ω
′
t
=
1
2
π
E
⃗
(
r
⃗
,
0
)
∫
0
∞
d
t
e
i
(
ω
′
−
ω
)
t
=
i
E
⃗
(
r
⃗
,
0
)
2
π
(
ω
′
−
ω
)
(47)
\vec{E}_{\omega'} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} dt \ \vec{E}(\vec{r}, t)e^{i\omega't} = \frac{1}{2\pi} \vec{E}(\vec{r}, 0) \int_{0}^{\infty} dt \ e^{i(\omega' - \omega)t} = \frac{i\vec{E}(\vec{r}, 0)}{2\pi (\omega' - \omega)} \tag{47}
E
ω′=2π1∫−∞∞dt E
(r
,t)eiω′t=2π1E
(r
,0)∫0∞dt ei(ω′−ω)t=2π(ω′−ω)iE
(r
,0)(47)
一个原子发出的流过单位截面的光的能量为
d
I
′
d
σ
=
∫
−
∞
∞
d
t
S
‾
=
1
2
ϵ
0
c
∫
−
∞
∞
d
t
E
⃗
(
r
⃗
,
t
)
⋅
E
⃗
∗
(
r
⃗
,
t
)
=
1
2
ϵ
0
c
∫
−
∞
∞
d
t
∫
−
∞
∞
d
ω
′
∫
−
∞
∞
d
ω
′
′
E
⃗
ω
′
e
−
i
ω
′
t
⋅
(
E
⃗
ω
′
′
e
−
i
ω
′
′
t
)
∗
=
π
ϵ
0
c
∫
−
∞
∞
d
ω
′
∫
−
∞
∞
d
ω
′
′
δ
(
ω
′
−
ω
′
′
)
E
⃗
ω
′
⋅
E
⃗
ω
′
′
∗
=
π
ϵ
0
c
∫
−
∞
∞
d
ω
′
E
⃗
ω
′
⋅
E
⃗
ω
′
∗
(48)
\begin{aligned} \frac{dI'}{d\sigma} & = \int_{-\infty}^{\infty} dt \overline{S} \\ & = \frac{1}{2}\epsilon_0 c \int_{-\infty}^{\infty} dt \ \vec{E}(\vec{r}, t) \cdot \vec{E}^*(\vec{r}, t) \\ & = \frac{1}{2}\epsilon_0 c \int_{-\infty}^{\infty} dt \ \int_{-\infty}^{\infty} d\omega' \ \int_{-\infty}^{\infty} d\omega'' \ \vec{E}_{\omega'}e^{-i\omega' t} \cdot (\vec{E}_{\omega''}e^{-i\omega'' t})^* \\ & = \pi \epsilon_0 c \int_{-\infty}^{\infty} d\omega' \ \int_{-\infty}^{\infty} d\omega'' \delta (\omega' - \omega '') \vec{E}_{\omega'}\cdot \vec{E}_{\omega''}^* \\ & = \pi \epsilon_0 c \int_{-\infty}^{\infty} d\omega' \vec{E}_{\omega'}\cdot \vec{E}_{\omega'}^* \\ \end{aligned} \tag{48}
dσdI′=∫−∞∞dtS=21ϵ0c∫−∞∞dt E
(r
,t)⋅E
∗(r
,t)=21ϵ0c∫−∞∞dt ∫−∞∞dω′ ∫−∞∞dω′′ E
ω′e−iω′t⋅(E
ω′′e−iω′′t)∗=πϵ0c∫−∞∞dω′ ∫−∞∞dω′′δ(ω′−ω′′)E
ω′⋅E
ω′′∗=πϵ0c∫−∞∞dω′E
ω′⋅E
ω′∗(48)
光强
I
I
I为单位时间单位截面流过的光的能量：
I
=
n
0
∫
−
∞
∞
d
t
S
‾
≡
∫
−
∞
∞
d
ω
′
I
ω
′
(49)
I=n_0 \int_{-\infty}^{\infty} dt \overline{S} \equiv \int_{-\infty}^{\infty} d\omega' \ I_{\omega'} \tag{49}
I=n0∫−∞∞dtS≡∫−∞∞dω′ Iω′(49)
其中
n
0
n_0
n0为单位时间发光的原子数，
I
ω
′
I_{\omega'}
Iω′为单位频率对应的光强：
I
ω
′
=
π
n
0
c
ϵ
0
E
⃗
ω
′
⋅
E
⃗
ω
′
∗
=
n
0
c
ϵ
0
E
⃗
(
r
⃗
,
0
)
⋅
E
⃗
(
r
⃗
,
0
)
∗
4
π
(
ω
′
−
ω
)
(
ω
′
−
ω
∗
)
=
n
0
c
ϵ
0
E
⃗
(
r
⃗
,
0
)
⋅
E
⃗
(
r
⃗
,
0
)
∗
4
π
[
(
ω
′
−
ω
0
)
2
+
Γ
2
4
]
(50)
I_{\omega'} = \pi n_0 c\epsilon_0 \vec{E}_{\omega'}\cdot \vec{E}_{\omega'}^* = \frac{n_0 c\epsilon_0 \vec{E}(\vec{r}, 0) \cdot \vec{E}(\vec{r}, 0)^*}{4\pi (\omega' - \omega)(\omega' - \omega^*)} = \frac{n_0 c\epsilon_0 \vec{E}(\vec{r}, 0) \cdot \vec{E}(\vec{r}, 0)^*}{4\pi [(\omega'-\omega_0)^2 + \frac{\Gamma^2}{4}]} \tag{50}
Iω′=πn0cϵ0E
ω′⋅E
ω′∗=4π(ω′−ω)(ω′−ω∗)n0cϵ0E
(r
,0)⋅E
(r
,0)∗=4π[(ω′−ω0)2+4Γ2]n0cϵ0E
(r
,0)⋅E
(r
,0)∗(50)
上式表明，频率在
ω
0
\omega_0
ω0处的光强最大，光强与
ω
0
\omega_0
ω0的关系类似于一个高斯型分布。当
ω
′
−
ω
0
=
±
Γ
2
2
\omega' - \omega_0 = \pm \frac{\Gamma^2}{2}
ω′−ω0=±2Γ2时，光强降了一半，整个半高度的宽度正好是
Γ
\Gamma
Γ。此时不再是单色波，频率有一个分布，并且
Γ
\Gamma
Γ为谱线的自然宽度。这个宽度对应的波长：
Δ
λ
=
∣
Δ
(
2
π
c
ω
′
)
∣
=
2
π
c
ω
0
2
Δ
ω
′
=
2
π
c
ω
0
2
Γ
=
μ
0
e
2
3
m
e
∼
1
0
−
4
埃
(51)
\Delta \lambda = |\Delta (\frac{2\pi c}{\omega'})| = \frac{2\pi c}{\omega_0^2}\Delta\omega' = \frac{2\pi c}{\omega_0^2} \Gamma = \frac{\mu_0e^2}{3m_e} \sim 10^{-4} 埃 \tag{51}
Δλ=∣Δ(ω′2πc)∣=ω022πcΔω′=ω022πcΓ=3meμ0e2∼10−4埃(51)
ω
0
\omega_0
ω0是依赖于原子结构的，不同的原子
ω
0
\omega_0
ω0不一样。但是上式最后得到的结果与
ω
0
\omega_0
ω0没有关系，剩下的都是一些常数。这意味着，原子外面的电子发光的时候，与是什么类型的原子没有关系，所有原子发光都有式(51)这样一个内禀的宽度，这个宽度是由辐射反冲引起的。即电子的自作用使所有原子发光的谱线都有一个展宽，而不是单色光。
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